Seminar geplant als Blockseminar im Schwarzwald, voraussichtlich in der 2. Juli-Hälfte
Voranmeldung: per E-Mail an
Gabriele Bellerino
Vorbesprechung 30.01., 14:00, Raum 232,
Ernst-Zermelo-Str. 1
Vortragsbesprechungen (Tutorium zum Seminar): Termine nach Vereinbarung
Lehre
Dozent:in: Angelika Rohde
Assistenz: Gabriele Bellerino
Sprache: Vortrag/Teilnahme auf Deutsch oder Englisch möglich
Inhalt
Wohingegen lineare Transformationen von Gaußprozessen ihre gaußsche Eigenschaft bewahren, gilt dies für nichtlineare Funktionale, beispielsweise additive Funktionale der Form
\[\int_0^T f(X_s) ds\qquad \text{ oder }\qquad \sum_{k=1}^n f(X_{k/n}),\]
im Allgemeinen nicht. Die Wiener-Chaos-Zerlegung bietet einen Rahmen zur Analyse nichtlinearer Funktionale von Gaußprozessen. Es handelt sich hierbei um eine orthogonale Zerlegung des Raumes
\[L^2(\mathbb{P}) = \bigoplus_{k=1}^\infty \mathcal{H}_k\]
der bezüglich \(\mathbb{P}\) quadratintegrierbaren Zufallsvariablen, wobei \(\mathbb{P}\) ein gaußsches Wahrscheinlichkeitsmaß ist. Dieses Konzept verallgemeinert dabei die Eigenschaften orthogonaler Polynome bezüglich eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf der reellen Achse auf ein (potentiell) unendlichdimensionales Szenario. Es stellt sich heraus, dass Elemente eines Wiener-Chaos \(\mathcal{H}_k\) als mehrfache Wiener-Itô-Integrale dargestellt werden können, welche wiederum gut verstandene Objekte sind.
In diesem Seminar werden wir die grundlegenden Eigenschaften des Wiener-Chaos untersuchen, beginnend mit der Hermite-Polynombasis. Anschließend wenden wir uns fortgeschrittenen Themen wie Anwendungen im Malliavin-Kalkül zu, einem unendlichdimensionalen Differential-Kalkül auf gaußschen Wahrscheinlichkeitsräumen (stochastische Variationsrechnung). Des Weiteren werden zentrale und nichtzentrale Grenzwertsätze für nichtlineare Funktionale von gaußschen und nicht-gaußschen Prozessen sowie Invarianzprinzipien behandelt.
Vorkenntnisse
Notwendige Vorkenntnisse bestehen nur aus Kenntnissen der Wahrscheinlichkeitstheorie I.
Für einige Vorträge sind Vorkenntnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie II (Stochastische Prozesse) nützlich. Ihre individuellen Vorkenntnisse können bei der Vergabe der Themen jedoch selbstverständlich berücksichtigt werden.
Verwendbarkeit
Wahlmodul im Optionsbereich (2HfB21)
Mathematisches Seminar (BSc21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Ergänzung (MEd18)
Mathematisches Seminar (MSc14)
Wahlmodul (MSc14)
Mathematical Seminar (MScData24)
Elective in Data (MScData24)