Ort und Zeit

Vorlesung: Do, 8-10 Uhr, HS Weismann-Haus, Albertstr. 21a
Übung: 2-stündig 14-täglich, verschiedene Termine
Klausur 23.02.

Die Anforderungen an Studien- und Prüfungsleistungen werden in den aktuellen Ergänzungen der Modulhandbücher beschrieben, die ab Ende Oktober als Teil des Kommentierten Vorlesungsverzeichnisses veröffentlicht werden.

Lehre

Dozent:in: Ernst August v. Hammerstein
Assistenz: Sebastian Stroppel
Sprache: auf Deutsch

Inhalt

Stochastik ist, lax gesagt, die „Mathematik des Zufalls“, über den sich – womöglich entgegen der ersten Anschauung – sehr viele präzise und gar nicht zufällige Aussagen formulieren und beweisen lassen. Ziel der Vorlesung ist, eine Einführung in die stochastische Modellbildung zu geben, einige grundlegende Begriffe und Ergebnisse der Stochastik zu erläutern und an Beispielen zu veranschaulichen. Sie ist darüber hinaus auch, speziell für Studierende im B.Sc. Mathematik, als motivierende Vorbereitung für die Vorlesung „Wahrscheinlichkeitstheorie“ im Sommersemester gedacht. Behandelt werden unter anderem: Diskrete und stetige Zufallsvariablen, Wahrscheinlichkeitsräume und -maße, Kombinatorik, Erwartungswert, Varianz, Korrelation, erzeugende Funktionen, bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit, Schwaches Gesetz der großen Zahlen, Zentraler Grenzwertsatz.

Die Vorlesung Stochastik II im Sommersemester wird sich hauptsächlich statistischen Themen widmen.

Vorkenntnisse

Lineare Algebra I sowie Analysis I und II \
Lineare Algebra I kann gleichzeitig gehört werden.

Verwendbarkeit

Stochastik (2HfB21, MEH21)
Stochastik I (BSc21, MEB21, MEdual24)

Ort und Zeit

Vorlesung: Mo, Mi, 8-10 Uhr, HS Weismann-Haus, Albertstr. 21a
Übung: 2-stündig, Termin wird noch festgelegt und in der Vorlesung bekanntgegeben
Klausur: Datum wird noch bekanntgegeben

Die Anforderungen an Studien- und Prüfungsleistungen werden in den aktuellen Ergänzungen der Modulhandbücher beschrieben, die ab Ende Oktober als Teil des Kommentierten Vorlesungsverzeichnisses veröffentlicht werden.

Lehre

Dozent:in: Ernst August v. Hammerstein
Sprache: auf Deutsch

Inhalt

Die Funktionentheorie ist ein klassisches Gebiet der höheren Mathematik, das innerhalb des 19. Jahrhunderts maßgeblich durch die wegweisenden Arbeiten von Cauchy, Riemann und Weierstraß begründet wurde. Sie überträgt die aus der Analysis bekannten Begriffe der Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit auf komplexwertige Funktionen \(f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}\) und untersucht die sich daraus ergebenden Konsequenzen, die weitaus reichhaltiger sind als man zunächst annehmen würde und zu einer oft eleganteren und manchmal sogar einfacheren Theorie führen. Diese ist grundlegend für viele weiterführende Bereiche der Mathematik, insbesondere der Zahlentheorie und der algebraischen Geometrie, und ihre Anwendungen reichen bis in die Wahrscheinlichkeitstheorie, Funktionalanalysis und Mathematische Physik.

Ausgangspunkt aller Überlegungen ist, dass man komplexe Zahlen mit Punkten in \(\mathbb{R}^2\) (Gaußsche Zahlenebene) und somit komplex differenzierbare Funktionen mit reellwertigen \(g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) identifizieren kann, die die sog. Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen. Die überraschenden Ergebnisse der Funktionentheorie können letztlich auf die besonders schönen Eigenschaften dieser Differentialgleichungen zurückgeführt werden. Einige davon besagen beispielsweise, dass komplex differenzierbare Funktionen beliebig oft stetig differenzierbar sind, lokal als Potenzreihe dargestellt werden können, und ihre Werte innerhalb einer Kreisscheibe schon durch diejenigen auf deren Rand festgelegt sind.

Zentrale Themen der Vorlesung werden unter anderem die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen, der Cauchysche Integralsatz, die Cauchysche Integralformel, das Maximumprinzip, Laurentreihen und der Residuensatz sowie der Riemannsche Abbildungssatz sein. Soweit es die Zeit und das Interesse der Hörer:innen erlaubt, können auch weiterführende Themen wie die Picardschen Sätze, doppelt-periodische Funktionen oder zahlentheoretische Anwendungen angesprochen werden.

Vorkenntnisse

Analysis I und II, Lineare Algebra I

Verwendbarkeit

Wahlmodul im Optionsbereich (2HfB21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Vertiefung (MEd18, MEH21)
Reine Mathematik (MSc14)
Wahlmodul (MSc14)
Elective (MScData24)

Ort und Zeit

Vorlesung: Fr, 10-12 Uhr, -, -
Übung: Mo, 16-18 Uhr, -, -

Diese Veranstaltung wird für die Wirtschaftswissenschaften angeboten und ist in den Mathematik-Studiengängen nicht verwendbar, auch nicht als Wahlmodul!

Lehre

Dozent:in: Ernst August v. Hammerstein
Sprache: auf Englisch

Ort und Zeit

Di, 10-12 Uhr, SR 127, Ernst-Zermelo-Str. 1
Voranmeldung: bis zum 02.02.2026 per E-Mail an Ernst August v. Hammerstein
Seminarvorbesprechung 04.02., 16:00, SR 127, Ernst-Zermelo-Str. 1
Individuelle Vortragsvorbesprechungen: Termine nach Vereinbarung

Lehre

Dozent:in: Ernst August v. Hammerstein
Sprache: auf Deutsch

Inhalt

Unter Codierungstheorie werden klassischerweise Techniken und Verfahren verstanden, Informationen 'kompakt und übertragungssicher' zusammenzufassen. Kompakt bedeutet hier, möglichst viel Information in möglichst kurzen oder wenigen Codewörtern unterzubringen (wie z.B. Autor, Buchtitel und Verlag in einer ISBN-Nummer), und über-tragungssicher, dass man Fehler in übermittelten Codewörtern erkennen und idealerweise auch korrigieren, also das ursprünglich gemeinte Codewort ggf. wiederherstellen kann. Daneben denkt man beim Stichwort Kodierung oft auch an 'schwer zu knackende Codes', d.h. an Verschlüsselungstechniken, um die übertragenden Informationen vor dem Zugriff Unbefugter zu schützen.

In diesem Proseminar sollen beide der oben genannten Aspekte berücksichtigt werden, wobei der erstere jedoch größeres Gewicht haben wird. Dabei sollen auch die mathematischen Grundlagen der einzelnen Verfahren etwas genauer betrachtet und erläutert werden. Als Stichworte hierzu seien genannt: Rechnen in Restklassen/modulo, kleiner Satz von Fermat und chinesischer Restsatz, Verschlüsselung mittels RSA-Verfahren und diskreten Logarithmen, (perfekte) lineare Codes, zyklische Codes, Reed-Solomon- und BCH-Codes.

Vorkenntnisse

Analysis I,II, Lineare Algebra I,II

Verwendbarkeit

Proseminar (2HfB21, BSc21, MEH21, MEB21)

Die Zahl der ECTS-Punkte entnehmen Sie bitte den Ergänzungen zu den Modulhandbüchern.

Ort und Zeit

Vorlesung: Mo, Mi, 10-12 Uhr, HS 00-026, Georges-Köhler-Allee 101
Übung: 2-stündig, verschiedene Termine

Diese Veranstaltung wird für die Informatik angeboten und ist in den Mathematik-Studiengängen nicht verwendbar, auch nicht als Wahlmodul!

Lehre

Dozent:in: Ernst August v. Hammerstein
Assistenz: Lukas Riepl
Sprache: auf Deutsch

Ort und Zeit

Vorlesung: Mi, 8-10 Uhr, HS Weismann-Haus, Albertstr. 21a
Übung: 2-stündig, verschiedene Termine
Klausur 19.02., 14:00-17:00, HS Anatomie, Albertstr. 17
Nachklausur 15.04., 10:00-13:00, HS Weismann-Haus, Albertstr. 21a

Die Anforderungen an Studien- und Prüfungsleistungen werden in den aktuellen Ergänzungen der Modulhandbücher beschrieben, die ab Ende Oktober 2025 als Teil des Kommentierten Vorlesungsverzeichnisses veröffentlicht werden.

Lehre

Dozent:in: Ernst August v. Hammerstein
Sprache: auf Deutsch

Inhalt

Diese Pflichtvorlesung für Lehramtsstudierende im M.Ed. baut auf den Grundvorlesungen Analysis I und II auf und ergänzt bzw. vertieft diese in den folgenden zwei Schwerpunktthemen:

\textit{Mehrdimensionale Integration:} Das aus der Vorlesung Analysis I bekannte eindimensionale Riemann-Integral wird auf reellwertige Funktionen mehrerer Variabler verallgemeinert, wofür zunächst mit dem Jordan-Inhalt ein geeignetes Instrument zum Messen des Inhalts/Volumens mehrdimensionaler Mengen eingeführt wird. Danach werden die klassischen Integralsätze (Transformationssatz, Satz von Fubini) hergeleitet und Kurven- und Oberflächenintegrale betrachtet. Mithilfe der Divergenz und Rotation von Vektorfeldern lassen sich die beiden vorgenannten Integralarten durch die Integralsätze von Gauß und Stokes zueinander in Beziehung setzen, was die Berechnungen in praktischen Anwendungen erheblich vereinfacht.

\textit{Funktionentheorie:} Diese untersucht im Gegensatz zu Analysis I die (komplexe) Differenzierbarkeit von Funktionen einer komplexen Variablen. Komplex differenzierbare, sog. holomorphe Funktionen unterliegen, wie sich zeigen wird, viel strengeren Regeln und Gesetzesmäßigkeiten als im Reellen, was zu ebenso schönen wie überraschenden Ergebnissen führt. Wir werden hierzu den Cauchyschen Intergalsatz und die Cauchysche Integralformel beweisen und einige Anwendungen und Folgerungen aus diesen näher betrachten.

Vorkenntnisse

Analysis~I und II, Lineare Algebra~I und II

Verwendbarkeit

Erweiterung der Analysis (MEd18, MEH21, MEdual24)

Die Zahl der ECTS-Punkte entnehmen Sie bitte den Ergänzungen zu den Modulhandbüchern.

Ort und Zeit

Vorlesung: Di, Do, 14-16 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1
Übung: 2-stündig, Termin wird noch festgelegt und in der Vorlesung bekanntgegeben

Die Anforderungen an Studien- und Prüfungsleistungen werden in den aktuellen Ergänzungen der Modulhandbücher beschrieben, die ab Ende Oktober 2025 als Teil des Kommentierten Vorlesungsverzeichnisses veröffentlicht werden.

Lehre

Dozent:in: Ernst August v. Hammerstein
Assistenz: Sebastian Hahn
Sprache: auf Englisch

Inhalt

Die Vorlesung Mathematische Statistik baut auf Grundkenntnissen aus der Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie auf. Das grundlegende Problem der Statistik ist, anhand einer Stichprobe von Beobachtungen möglichst präzise Aussagen über den datengenerierenden Prozess bzw. die den Daten zugrundeliegenden Verteilungen zu machen. Hierzu werden in der Vorlesung die wichtigsten Methoden aus der statistischen Entscheidungstheorie wie Test- und Schätzverfahren eingeführt.

Stichworte hierzu sind u.a. Bayes-Schätzer und -Tests, Neyman-Pearson-Testtheorie, Maximum-Likelihood-Schätzer, UMVU-Schätzer, exponentielle Familien, lineare Modelle. Weitere Themen sind Ordnungsprinzipien zur Reduktion der Komplexität der Modelle (Suffizienz und Invarianz).

Statistische Methoden und Verfahren kommen nicht nur in den Naturwissenschaften und der Medizin, sondern in nahezu allen Bereichen zum Einsatz, in denen Daten erhoben und analysiert werden, so z. B. auch in den Wirtschaftswissenschaften (Ökonometrie) und Sozialwissenschaften (dort vor allem in der Psychologie). Im Rahmen dieser Vorlesung wird der Schwerpunkt aber weniger auf Anwendungen, sondern – wie der Name schon sagt – mehr auf der mathematisch fundierten Begründung der Verfahren liegen.

Vorkenntnisse

Wahrscheinlichkeitstheorie (insbesondere Maßtheorie sowie bedingte Wahrscheinlichkeiten und Erwartungen)

Verwendbarkeit

Wahlmodul im Optionsbereich (2HfB21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Angewandte Mathematik (MSc14)
Mathematik (MSc14)
Vertiefungsmodul (MSc14)
Wahlmodul (MSc14)
Advanced Lecture in Stochastics (MScData24)
Elective in Data (MScData24)

Die Zahl der ECTS-Punkte entnehmen Sie bitte den Ergänzungen zu den Modulhandbüchern.

Ort und Zeit

Vorlesung: Di, 10-12 Uhr, HS 1221, KG I
Übung: Fr, 10-12 Uhr, HS 1098, KG I

Lehre

Dozent:in: Ernst August v. Hammerstein
Sprache: auf Englisch

Ort und Zeit

Vorlesung: Mo, 14-16 Uhr, HS II, Albertstr. 23b
Übung: Mi, 16-18 Uhr, SR 403, Ernst-Zermelo-Str. 1

Lehre

Dozent:in: Ernst August v. Hammerstein
Assistenz: Sebastian Hahn
Sprache: auf Englisch

Inhalt

Lévy-Prozesse sind das zeitstetige Analogon zu Irrfahrten (random walks) in diskreter Zeit, da sie definitionsgemäß ebenfalls unabhängige und stationäre Zuwächse besitzen. Sie bilden eine fundamentale Klasse stochastischer Prozesse, die vielfache Anwendungen in der Versicherungs- und Finanzmathematik, der Warteschlangentheorie und auch in der Physik und Telekommunikation gefunden haben. Auch die Brownsche Bewegung und der Poisson-Prozess, die vielleicht schon aus anderen Vorlesungen bekannt sind, gehören zu dieser Klasse. Trotz ihrer Reichhaltigkeit und Flexibilität sind Lévy-Prozesse üblicherweise sowohl analytisch wie auch numerisch sehr handhabbar, da ihre Verteilung durch ein einzelnes eindimensionales, unbegrenzt teilbares Wahrscheinlichkeitsmaß erzeugt wird.

Die Vorlesung beginnt mit einer Einführung in unbegrenzt teilbare Verteilungen und der Herleitung der berühmten Lévy-Khintchine-Formel. Danach wird erläutert, wie Lévy-Prozesse daraus entstehen und wie die Charakteristiken der Verteilungen die Pfadeigenschaften der zugehörigen Prozesse beeinflussen. Nach einem kurzen Blick auf die Methode der Subordination wird abschließend die Optionsbewertung in von Lévy-Prozessen getriebenen Finanzmarktmodellen diskutiert.

Vorkenntnisse

notwendig: Wahrscheinlichkeitstheorie I

nützlich: Wahrscheinlichkeitstheorie II (Stochastische Prozesse)

Verwendbarkeit

Wahlmodul im Optionsbereich (2HfB21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Ergänzung (MEd18)
Angewandte Mathematik (MSc14)
Mathematik (MSc14)
Vertiefungsmodul (MSc14)
Wahlmodul (MSc14)
Elective in Data (MScData24)

Die Zahl der ECTS-Punkte entnehmen Sie bitte den Ergänzungen zu den Modulhandbüchern.

Ort und Zeit

Vorlesung: Mo, Mi, 10-12 Uhr, HS 00-026, Georges-Köhler-Allee 101
Übung: 2-stündig, verschiedene Termine

Lehre

Dozent:in: Ernst August v. Hammerstein
Assistenz: Damian Sercombe

Ort und Zeit

Vorlesung: Mo, Mi, 14-16 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1
Übung: Di, 16-18 Uhr, SR 127, Ernst-Zermelo-Str. 1

Lehre

Dozent:in: Ernst August v. Hammerstein
Assistenz: Sebastian Stroppel
Sprache: auf Englisch

Inhalt

Die Vorlesung "Mathematische Statistik"' baut auf Grundkenntnissen aus der Vorlesung "Wahrscheinlichkeitstheorie"' auf. Das grundlegende Problem der Statistik ist, anhand einer Stichprobe von Beobachtungen möglichst präzise Aussagen über den datengenerierenden Prozess bzw. die den Daten zugrundeliegenden Verteilungen zu machen. Hierzu werden in der Vorlesung die wichtigsten Methoden aus der statistischen Entscheidungstheorie wie Test- und Schätzverfahren eingeführt.

Stichworte hierzu sind u.a. Bayes-Schätzer und -Tests, Neyman-Pearson-Testtheorie, Maximum-Likelihood-Schätzer, UMVU-Schätzer, exponentielle Familien, lineare Modelle. Weitere Themen sind Ordnungsprinzipien zur Reduktion der Komplexität der Modelle (Suffizienz und Invarianz).

Statistische Methoden und Verfahren kommen nicht nur in den Naturwissenschaften und der Medizin, sondern in nahezu allen Bereichen zum Einsatz, in denen Daten erhoben und analysiert werden, so z. B. auch in den Wirtschaftswissenschaften (Ökonometrie) und Sozialwissenschaften (dort vor allem in der Psychologie). Im Rahmen dieser Vorlesung wird der Schwerpunkt aber weniger auf Anwendungen, sondern – wie der Name schon sagt – mehr auf der mathematisch fundierten Begründung der Verfahren liegen.

Vorkenntnisse

Notwendig: Wahrscheinlichkeitstheorie (insbesondere Maßtheorie sowie bedingte Wahrscheinlichkeiten und Erwartungen)

Verwendbarkeit

Wahlmodul im Optionsbereich (2HfB21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Angewandte Mathematik (MSc14)
Mathematik (MSc14)
Vertiefungsmodul (MSc14)
Wahlmodul (MSc14)
Advanced Lecture in Stochastics (MScData24)
Elective in Data (MScData24)

Die Zahl der ECTS-Punkte entnehmen Sie bitte den Ergänzungen zu den Modulhandbüchern.

Ort und Zeit

Seminar geplant als Blockseminar nach dem Praxissemester, entweder mit wöchentlichen Terminen ab Januar 2025 oder als Blockseminar zum/nach Ende der Vorlesungszeit.
Voranmeldung: bis spätestens 18.07.2024 per Mail an Ernst August v. Hammerstein
Seminarvorbesprechung 19.07., 16:00, Raum 232, Ernst-Zermelo-Str. 1
Individuelle Vortragsvorbesprechungen: Termine nach Vereinbarung

Lehre

Dozent:in: Ernst August v. Hammerstein
Sprache: auf Deutsch

Inhalt

Einen Knoten kann man mathematisch relativ einfach definieren als eine geschlossene Kurve im dreidimenionalen Raum \(\mathbb{R}^3\). Aus dem täglichen Leben kennt man sicherlich bereits verschiedene Knotenarten, z.\,B. Kreuzknoten, Chirurgenknoten, Seemannsknoten u.a.m. Ziel der mathematischen Knotentheorie ist, charakteristische Größen zur Beschreibung und Klassifizierung von Knoten zu finden und damit evtl. auch entscheiden zu können, ob zwei Knoten äquivalent sind, d.\,h. durch bestimmte Operationen ineinander überführt werden können.

Mit Seilen, Schnüren oder Drähten kann man Knoten sowie einzelne Verknüfungen und Verschlingungen gut veranschaulichen, so dass angehende Lehrerinnen und Lehrer nicht nur in diesem Seminar, sondern vielleicht auch später einmal im Unterricht die Möglichkeit haben, das eine oder andere Resultat ganz praktisch darzustellen.

Vorkenntnisse

Grundvorlesungen, evtl. auch ein wenig Topologie

Verwendbarkeit

Mathematische Ergänzung (MEd18)
Proseminar (2HfB21, BSc21, MEH21, MEB21)
Wahlmodul im Optionsbereich (2HfB21)

Die Zahl der ECTS-Punkte entnehmen Sie bitte den Ergänzungen zu den Modulhandbüchern.

Ort und Zeit

Vorlesung: Di, 10-12 Uhr, HS 1098, KG I
Übung: Fr, 10-12 Uhr, HS 1199, KG I

Lehre

Dozent:in: Ernst August v. Hammerstein
Assistenz: Hongyi Shen
Sprache: auf Englisch

Ort und Zeit

Vorlesung: Fr, 10-12 Uhr, HS Weismann-Haus, Albertstr. 21a

Lehre

Dozent:in: Ernst August v. Hammerstein
Assistenz: Timo Enger

Verwendbarkeit

Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)

Ort und Zeit

† Vorlesung (4-stündig): Mo, Mi, 10-12 Uhr, HS 00-026, Georges-Köhler-Allee 101

Lehre

Dozent:in: Ernst August v. Hammerstein
Assistenz: Saskia Glaffig

Ort und Zeit

Di, 14-16 Uhr, PC-Pool Raum -100, Hermann-Herder-Str. 10

Lehre

Dozent:in: Ernst August v. Hammerstein

Verwendbarkeit

Praktische Übung (2HfB21, MEH21, MEB21)
Mathematische Ergänzung (MEd18)

Ort und Zeit

Vorlesung: Fr, 10-12 Uhr, HS Weismann-Haus, Albertstr. 21a
Klausur 13.02., 10:00-12:00

Lehre

Dozent:in: Ernst August v. Hammerstein
Assistenz: Timo Enger
Allgemein: Pflichtveranstaltung im B.Sc., Pflichtveranstaltung im 2-Hf-B

Verwendbarkeit

Stochastik I (BSc21, MEB21, MEdual24)

Ort und Zeit

Vorlesung: Di, 10-12 Uhr, HS 3042, KG III
Übung: Fr, 16-18 Uhr, HS 1098, KG I

Lehre

Dozent:in: Ernst August v. Hammerstein
Assistenz: Sven Knaust
Allgemein: Kategorie III

Verwendbarkeit

Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Ergänzung (MEd18)

Ort und Zeit

Vorlesung: Mo, 10-12 Uhr, HS 1098, KG I

Lehre

Dozent:in: Ernst August v. Hammerstein
Assistenz: Samuel Ayomide Adeosun

Ort und Zeit

Mo, 14-16 Uhr, SR 125, Ernst-Zermelo-Str. 1

Lehre

Dozent:in: Ernst August v. Hammerstein
Assistenz: Ernst August v. Hammerstein

Verwendbarkeit

Proseminar (2HfB21, BSc21, MEH21, MEB21)