Ort und Zeit

Vorlesung: Mo, Mi, 14-16 Uhr, HS II, Albertstr. 23b
Übung: 2-stündig, Termin wird noch festgelegt und in der Vorlesung bekanntgegeben

Die Anforderungen an Studien- und Prüfungsleistungen werden in den aktuellen Ergänzungen der Modulhandbücher beschrieben, die ab Ende Oktober als Teil des Kommentierten Vorlesungsverzeichnisses veröffentlicht werden.

Lehre

Dozent:in: Abhishek Oswal
Assistenz: Ben Snodgrass
Sprache: auf Englisch

Inhalt

Kurze Beschreibung der Themen: Zahlkörper, Primzahlzerlegung in Dedekind-Ringen, Idealklassengruppen, Einheitengruppen, Dirichlet'scher Einheitensatz, lokale Körper, Bewertungen, Zerlegungs- und Trägheitsgruppen, Einführung in die Klassenkörpertheorie.

Vorkenntnisse

Notwendig: Algebra und Zahlentheorie

Verwendbarkeit

Wahlmodul im Optionsbereich (2HfB21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Vertiefung (MEd18, MEH21)
Reine Mathematik (MSc14)
Mathematik (MSc14)
Vertiefungsmodul (MSc14)
Wahlmodul (MSc14)
Elective (MScData24)

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Ort und Zeit

Mo, 10-12 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1

Das gleichnamige Seminar kann auch ohne Vortrag besucht werden und als zweistündige Vorlesung mit 3 ECTS-Punkten angerechnet werden.

Lehre

Dozent:in: Annette Huber-Klawitter
Assistenz: Ben Snodgrass
Sprache: auf Englisch

Inhalt

Die Veranstaltung wird teilweise als Seminar abgehalten. Zu Inhalt etc. siehe beim gleichnamigen Seminar!

Verwendbarkeit

Wahlmodul im Optionsbereich (2HfB21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Reine Mathematik (MSc14)
Mathematik (MSc14)
Vertiefungsmodul (MSc14)
Wahlmodul (MSc14)
Elective (MScData24)

Die Zahl der ECTS-Punkte entnehmen Sie bitte den Ergänzungen zu den Modulhandbüchern.

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Ort und Zeit

Seminar: Mo, 10-12 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1
Voranmeldung: Please sign up in the list with Frau Frei, room 421
Seminarvorbesprechung 04.02., 12:15-14:00, SR 403, Ernst-Zermelo-Str. 1

Lehre

Dozent:in: Annette Huber-Klawitter
Assistenz: Ben Snodgrass
Sprache: auf Englisch

Inhalt

In this seminar, we shall learn about algebraic \(\mathcal D\)-modules. These are modules over a certain class of non-commutative rings, consisting of polynomials and differential operators. The simplest example is \(\mathbb C[z, \partial]\), where \(\partial \cdot z = z \cdot \partial + 1\). These modules can be seen as a generalisation of systems of linear partial differential equations with polynomial coefficients, in the sense that each such system defines a \(\mathcal D\)-module from which the system can be recovered.

In \(\mathcal D\)-module theory, one is typically less interested in finding explicit solutions of systems of differential equations and more interested in applying techniques from commutative algebra and algebraic geometry to understand the systems themselves. We shall learn about certain invariants associated to a given \(\mathcal D\)-module and their geometric interpretations, including holonomicity. Time-allowing, we will also look at solution spaces of \(\mathcal D\)-modules and the statement of the Riemann-Hilbert correspondence, with some instructive examples.

Vorkenntnisse

Kommutative Algebra

Verwendbarkeit

Wahlmodul im Optionsbereich (2HfB21)
Mathematisches Seminar (BSc21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Ergänzung (MEd18)
Mathematisches Seminar (MSc14)
Wahlmodul (MSc14)
Elective (MScData24)

Die Zahl der ECTS-Punkte entnehmen Sie bitte den Ergänzungen zu den Modulhandbüchern.

Ort und Zeit

Vorlesung: Mo, 14-16 Uhr, HS Rundbau, Albertstr. 21, Fr, 8-10 Uhr, HS Rundbau, Albertstr. 21
Übung: 2-stündig, verschiedene Termine

Lehre

Dozent:in: Susanne Knies
Assistenz: Ben Snodgrass
Sprache: auf Deutsch

Ort und Zeit

Seminar: Mo, 10-12 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1
Seminarvorbesprechung 13.02., 14:30, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1, Please email Abhisehk Oswal, and Ben Snodgrass if you are interested in the seminar but cannot make it to the preliminary meeting.

Lehre

Dozent:in: Abhishek Oswal
Assistenz: Ben Snodgrass
Sprache: auf Englisch

Inhalt

It has become clear over the last several decades that \(p\)-adic techniques play an indispensable role in arithmetic geometry. At an elementary level, \(p\)-adic numbers provide a compact and convenient language to talk about congruences between integers. Concretely, just as the field of real numbers \(\mathbb R\) arise as the completion of the field \(\mathbb Q\) of rational numbers with respect to the usual notion of distance on \(\mathbb Q\), the field \(\mathbb Q_p\) of \(p\)-adic numbers arise as the completion of \(\mathbb Q\) with respect to an equally natural \(p\)-adic metric. Roughly, in the \(p\)-adic metric, an integer \(n\) is closer to \(0\), the larger the power of the prime number \(p\) that divides it. A general philosophy in number theory is then to treat all these completions \(\mathbb R\), \(\mathbb Q_p\) of the field \(\mathbb Q\) on an equal footing. As we shall see in this course, familiar concepts from real analysis (i.e. notions like analytic functions, derivatives, measures, integrals, Fourier analysis, real and complex manifolds, Lie groups...), have completely parallel notions over the \(p\)-adic numbers.

While the Euclidean topology of \(\mathbb R^n\) is rather well-behaved (so one may talk meaningfully about paths, fundamental groups, analytic continuation, ...), the \(p\)-adic field \(\mathbb Q_p\) on the other hand is totally disconnected. This makes the task of developing a well-behaved notion of global \(p\)-adic analytic manifolds/spaces rather difficult. In the 1970s, John Tate’s introduction of the concept of rigid analytic spaces, solved these problemsand paved the way for several key future developments in \(p\)-adic geometry.

The broad goal of this course will be to introduce ourselves to this world of \(p\)-adic analysis and rigid analytic geometry (due to Tate). Along the way, we shall see a couple of surprising applications of this circle of ideas to geometry and arithmetic. Specifically, we plan to learn Dwork’s proof of the fact that the zeta function of an algebraic variety over a finite field is a rational function.

Vorkenntnisse

Field theory, Galois theory and Commutative algebra.

Some willingness to accept unfamiliar concepts as black boxes. Prior experience with algebraic number theory, or algebraic geometry will be beneficial but not necessary.

Verwendbarkeit

Wahlmodul im Optionsbereich (2HfB21)
Mathematisches Seminar (BSc21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Ergänzung (MEd18)
Mathematisches Seminar (MSc14)
Wahlmodul (MSc14)
Elective (MScData24)

Die Zahl der ECTS-Punkte entnehmen Sie bitte den Ergänzungen zu den Modulhandbüchern.