Ort und Zeit

Vorlesung: Di, Do, 12-14 Uhr, HS II, Albertstr. 23b
Übung: 2-stündig, Termin wird noch festgelegt und in der Vorlesung bekanntgegeben

Die Anforderungen an Studien- und Prüfungsleistungen werden in den aktuellen Ergänzungen der Modulhandbücher beschrieben, die ab Ende Oktober als Teil des Kommentierten Vorlesungsverzeichnisses veröffentlicht werden.

Lehre

Dozent:in: David Criens
Sprache: auf Englisch

Inhalt

A stochastic process \((X_t)_{t\in T}\) is a family of random variables, where mostly the situation \(T = \mathbb{N}\) or \(T = [0, 1]\) is studied. Basic examples include stationary time series, the Poisson process and Brownian motion as well as processes derived from those. The lecture includes ergodic theory and its applications, Brownian motion and especially the study of its path properties, the elegant concept of weak convergence on Polish spaces as well as functional limit theorems. Finally, we introduce stochastic integration with respect to local martingales, based on the continuous time version of the martingale transform.

Vorkenntnisse

Wahrscheinlichkeitstheorie I

Verwendbarkeit

Wahlmodul im Optionsbereich (2HfB21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Angewandte Mathematik (MSc14)
Mathematik (MSc14)
Vertiefungsmodul (MSc14)
Wahlmodul (MSc14)
Advanced Lecture in Stochastics (MScData24)
Elective in Data (MScData24)

Ort und Zeit

Vorlesung: Mo, 10-12 Uhr, HS 00-036, Georges-Köhler-Allee 101
Übung: 2-stündig, verschiedene Termine

Diese Veranstaltung wird für die Informatik angeboten und ist in den Mathematik-Studiengängen nicht verwendbar, auch nicht als Wahlmodul!

Lehre

Dozent:in: David Criens
Assistenz: Nils Kober
Sprache: auf Deutsch

Ort und Zeit

Vorlesung: Mi, 10-12 Uhr, SR 226, Hermann-Herder-Str. 10
Übung: 2-stündig, Termin wird noch festgelegt und in der Vorlesung bekanntgegeben

Die Anforderungen an Studien- und Prüfungsleistungen werden in den aktuellen Ergänzungen der Modulhandbücher beschrieben, die ab Ende Oktober 2025 als Teil des Kommentierten Vorlesungsverzeichnisses veröffentlicht werden.

Lehre

Dozent:in: David Criens
Assistenz: Dario Kieffer
Sprache: auf Englisch

Inhalt

Die Klasse der Markov-Ketten ist eine wichtige Klasse von (zeitdiskreten) stochastischen Prozessen, die häufig verwendet werden, um zum Beispiel die Ausbreitung von Infektionen, Warteschlangensysteme oder Wechsel von Wirtschaftsszenarien zu modellieren. Ihr Hauptmerkmal ist die Markov-Eigenschaft, was in etwa bedeutet, dass die Zukunft von der Vergangenheit nur durch den aktuellen Zustand abhängt. In dieser Vorlesung wird die mathematischen Grundlagen der Theorie der Markov-Ketten vorgestellt. Insbesondere diskutieren wir über Pfadeigenschaften, wie Rekurrenz, Transienz, Zustandsklassifikationen sowie die Konvergenz zu einem Gleichgewicht. Wir untersuchen auch Erweiterungen auf kontinuierliche Zeit. Auf dem Weg dorthin diskutieren wir Anwendungen in der Biologie, in Warteschlangensystemen und im Ressourcenmanagement. Wenn es die Zeit erlaubt, werfen wir auch einen Blick auf Markov-Ketten mit zufälligen Übergangswahrscheinlichkeiten, sogenannten Irrfahrten in zufälliger Umgebung, ein verbreitetes Modell für Zufällige Medien.

Vorkenntnisse

Notwendig: Stochastik I \
Nützlich: Analysis III, Wahrscheinlichkeitstheorie I

Verwendbarkeit

Wahlmodul im Optionsbereich (2HfB21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Ergänzung (MEd18)
Angewandte Mathematik (MSc14)
Mathematik (MSc14)
Vertiefungsmodul (MSc14)
Wahlmodul (MSc14)
Elective in Data (MScData24)

Die Zahl der ECTS-Punkte entnehmen Sie bitte den Ergänzungen zu den Modulhandbüchern.

Ort und Zeit

Vorlesung: Mi, 14-16 Uhr, HS II, Albertstr. 23b, Do, 10-12 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1
Übung: 2-stündig, Termin wird noch festgelegt und in der Vorlesung bekanntgegeben

Lehre

Dozent:in: David Criens
Assistenz: Samuel Ayomide Adeosun
Sprache: auf Englisch

Inhalt

This lecture builds the foundation of one of the key areas of probability theory: stochastic analysis. We start with a rigorous construction of the It^o integral that integrates against a Brownian motion (or, more generally, a continuous local martingale). In this connection, we learn about It^o's celebrated formula, Girsanov’s theorem, representation theorems for continuous local martingales and about the exciting theory of local times. Then, we discuss the relation of Brownian motion and Dirichlet problems. In the final part of the lecture, we study stochastic differential equations, which provide a rich class of stochastic models that are of interest in many areas of applied probability theory, such as mathematical finance, physics or biology. We discuss the main existence and uniqueness results, the connection to the martingale problem of Stroock-Varadhan and the important Yamada-Watanabe theory.

Vorkenntnisse

Wahrscheinlichkeitstheorie I und II (Stochastische Prozesse)

Verwendbarkeit

Wahlmodul im Optionsbereich (2HfB21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Angewandte Mathematik (MSc14)
Mathematik (MSc14)
Vertiefungsmodul (MSc14)
Wahlmodul (MSc14)
Advanced Lecture in Stochastics (MScData24)
Elective in Data (MScData24)

Die Zahl der ECTS-Punkte entnehmen Sie bitte den Ergänzungen zu den Modulhandbüchern.

Ort und Zeit

Seminar Die Vorträge werden als Blöcke in der Mitte des Semesters stattfinden; die genauen Termine werden in der Vorbesprechung ausgemacht.
Seminarvorbesprechung 06.02., 10:00, Raum 232, Ernst-Zermelo-Str. 1, weiterer Besprechungstermine am 23.04.2025, 10:00; in SR 232

Lehre

Dozent:in: David Criens
Assistenz: Andreas Demleitner
Sprache: auf Deutsch

Inhalt

Es sind nicht nur Sätze, Beweise oder illustrierende Beispiele, sondern auch Gegenbeispiele, die die Tiefe und Schönheit einer Theorie aufzeigen. Natürliche Fragen sind: (a) sind die Voraussetzungen eines Satzes notwendig und nicht nur hinreichend; (b) sind Voraussetzungen hinreichend und nicht nur notwendig; (c) gelten auch Gegenrichtungen von Aussagen. In diesem Proseminar beschäftigen wir uns mit Gegenbeispielen aus dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie. Mögliche Themen reichen von klassischen Fragestellungen, wie der Messbarkeit, Unabhängigkeit von Zufallsvariablen, Erwartungswerten oder bedingten Wahrscheinlichkeiten, bis hin zu fortgeschritteneren Themen, wie Grenzwertsätzen, Martingalen oder Markov Prozessen. Für jeden interessierten Studierenden kann ein passendes Thema gefunden werden.

Vorkenntnisse

Stochastik I (es können auch Themen aus Wahrscheinlichkeitstheorie I–III vergeben werden)

Verwendbarkeit

Proseminar (2HfB21, BSc21, MEH21, MEB21)

Die Zahl der ECTS-Punkte entnehmen Sie bitte den Ergänzungen zu den Modulhandbüchern.

Ort und Zeit

Vorlesung: Di, Mi, 16-18 Uhr, HS II, Albertstr. 23b
Übung: 2-stündig, Termin wird noch festgelegt und in der Vorlesung bekanntgegeben
Klausur 24.02., 14:00-16:00, HS II, Albertstr. 23b
Nachklausur 12.08.

Lehre

Dozent:in: David Criens
Assistenz: Eric Trébuchon
Sprache: auf Deutsch

Inhalt

Die Funktionentheorie beschäftigt sich mit Funktionen \(f : \mathbb C \to \mathbb C\) , die komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen abbilden. Viele Konzepte der Analysis~I lassen sich direkt auf diesen Fall übertragen, z.\,B. die Definition der Differenzierbarkeit. Man würde vielleicht erwarten, dass sich dadurch eine zur Analysis~I analoge Theorie entwickelt, doch viel mehr ist wahr: Man erhält eine in vielerlei Hinsicht elegantere und einfachere Theorie. Beispielsweise impliziert die komplexe Differenzierbarkeit auf einer offenen Menge, dass eine Funktion sogar unendlich oft differenzierbar ist, und dies stimmt weiter mit Analytizität überein. Für reelle Funktionen sind alle diese Begriffe unterschiedlich. Doch auch einige neue Ideen sind notwendig: Für reelle Zahlen \(a\), \(b\) integriert man für \[\int_a^b f(x) \mathrm dx\] über die Elemente des Intervalls \([a, b]\) bzw. \([b, a]\). Sind \(a\), \(b\) jedoch komplexe Zahlen, ist nicht mehr so klar, wie man ein solches Integral auf"|fassen soll. Man könnte z.\,B. in den komplexen Zahlen entlang der Strecke, die \(a, b \in \mathbb C\) verbindet, integrieren, oder aber entlang einer anderen Kurve, die von \(a\) nach \(b\) führt. Führt dies zu einem wohldefinierten Integralbegriff oder hängt ein solches Kurvenintegral von der Wahl der Kurve ab?

Vorkenntnisse

Notwendig: Analysis I+II, Lineare Algebra I

Verwendbarkeit

Wahlmodul im Optionsbereich (2HfB21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Vertiefung (MEd18, MEH21)
Reine Mathematik (MSc14)
Wahlmodul (MSc14)
Elective (MScData24)

Die Zahl der ECTS-Punkte entnehmen Sie bitte den Ergänzungen zu den Modulhandbüchern.

Ort und Zeit

Vorlesung: Do, 12-14 Uhr, SR 226, Hermann-Herder-Str. 10
Übung: 2-stündig, Termin wird noch festgelegt und in der Vorlesung bekanntgegeben

Lehre

Dozent:in: David Criens
Assistenz: Dario Kieffer
Sprache: auf Englisch

Inhalt

Die Klasse der Markov-Ketten ist eine wichtige Klasse von (zeitdiskreten) stochastischen Prozessen, die häufig verwendet werden, um zum Beispiel die Ausbreitung von Infektionen, Warteschlangensysteme oder Wechsel von Wirtschaftsszenarien zu modellieren. Ihr Hauptmerkmal ist die Markov-Eigenschaft, was in etwa bedeutet, dass die Zukunft von der Vergangenheit nur durch den aktuellen Zustand abhängt. In dieser Vorlesung wird die mathematischen Grundlagen der Theorie der Markov-Ketten vorgestellt. Insbesondere diskutieren wir über Pfadeigenschaften, wie Rekurrenz, Transienz, Zustandsklassifikationen sowie die Konvergenz zu einem Gleichgewicht. Wir untersuchen auch Erweiterungen auf kontinuierliche Zeit. Auf dem Weg dorthin diskutieren wir Anwendungen in der Biologie, in Warteschlangensystemen und im Ressourcenmanagement. Wenn es die Zeit erlaubt, werfen wir auch einen Blick auf Markov-Ketten mit zufälligen Übergangswahrscheinlichkeiten, sogenannten Irrfahrten in zufälliger Umgebung, ein verbreitetes Modell für Zufällige Medien.

Vorkenntnisse

Notwendig: Stochastik~I \ Nützlich: Analysis~III, Wahrscheinlichkeitstheorie~I

Verwendbarkeit

Wahlmodul im Optionsbereich (2HfB21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Ergänzung (MEd18)
Angewandte Mathematik (MSc14)
Mathematik (MSc14)
Vertiefungsmodul (MSc14)
Wahlmodul (MSc14)
Elective in Data (MScData24)

Die Zahl der ECTS-Punkte entnehmen Sie bitte den Ergänzungen zu den Modulhandbüchern.

Ort und Zeit

Vorlesung: Mo, 10-12 Uhr, HS 00-036, Georges-Köhler-Allee 101

Lehre

Dozent:in: David Criens
Assistenz: Timo Enger

Ort und Zeit

Mi, 16-17 Uhr, HS II, Albertstr. 23b

Lehre

Dozent:in: David Criens, Peter Pfaffelhuber, Angelika Rohde, Thorsten Schmidt

Ort und Zeit

Vorlesung: Do, 12-14 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1

Lehre

Dozent:in: David Criens
Allgemein: Kategorie III

Ort und Zeit

Mi, 14-16 Uhr, SR 125, Ernst-Zermelo-Str. 1

Lehre

Dozent:in: Angelika Rohde, David Criens

Verwendbarkeit

Mathematische Ergänzung (MEd18)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)

Ort und Zeit

Mi, 16-17 Uhr, SR 226, Hermann-Herder-Str. 10

Lehre

Dozent:in: David Criens, Angelika Rohde, Thorsten Schmidt

Ort und Zeit

Vorlesung: Fr, 10-12 Uhr, HS Weismann-Haus, Albertstr. 21a
Klausur 31.07., 15:30-18:00
Nachklausur 13.02., 10:00-12:00

Lehre

Dozent:in: David Criens
Assistenz: Timo Enger
Allgemein: Veranstaltung der Kategorie II, Pflichtveranstaltung im 2-HF-Bachelor

Verwendbarkeit

Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)

Ort und Zeit

Fr, 13-14 Uhr, HS II, Albertstr. 23b

Lehre

Dozent:in: David Criens, Peter Pfaffelhuber, Angelika Rohde, Thorsten Schmidt

Ort und Zeit

Vorlesung: Fr, 10-12 Uhr, HS Weismann-Haus, Albertstr. 21a
Klausur 23.02., 13:00-16:00

Lehre

Dozent:in: David Criens
Assistenz: Timo Enger
Allgemein: Pflichtveranstaltung im B.Sc., Pflichtveranstaltung im 2-Hf-B

Verwendbarkeit

Stochastik I (BSc21, MEB21, MEdual24)

Ort und Zeit

Do, 10-12 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1

Lehre

Dozent:in: David Criens
Assistenz: Lars Niemann

Verwendbarkeit

Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Ergänzung (MEd18)

Ort und Zeit

Fr, 13-14 Uhr, HS II, Albertstr. 23b

Lehre

Dozent:in: David Criens, Peter Pfaffelhuber

Lehre

Dozent:in: David Criens
Assistenz: Saskia Glaffig