Ort und Zeit

Vorlesung: Mo, Mi, 10-12 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1
Übung: 2-stündig, Termin wird noch festgelegt und in der Vorlesung bekanntgegeben

Die Anforderungen an Studien- und Prüfungsleistungen werden in den aktuellen Ergänzungen der Modulhandbücher beschrieben, die ab Ende Oktober als Teil des Kommentierten Vorlesungsverzeichnisses veröffentlicht werden.

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger
Sprache: auf Englisch

Inhalt

Wie zeigt man, dass man etwas nicht beweisen kann? Genauer: Wie zeigt man, dass eine Aussage aus bestimmten Axiomen nicht folgt?
Zu Beginn der Vorlesung steht eine kurze Vorstellung der gängigsten Axiomensysteme der Mathematik: Zermelo-Fraenkel’sche System mit Auswahlaxiom (ZFC) und das Axiomensystem von v. Neumann, Bernays und Gödel (NBG). Die Axiome prägen unsere Auffassung von den möglichen definierbaren oder vielleicht weniger konstruktiv gegebenen mathematischen Objekten. Allerdings zeichnen sie kein vollständiges Bild eines einzigen mathematischen Universums. Die Liste der herleitbaren mathematischen Aussagen ist unvollständig: Für manche \(\varphi\) ist weder \(\varphi\) noch sein Negat aus ZFC beweisbar. Man sagt ”\(\varphi\) ist unabhängig von ZFC“. Die bekannteste von ZFC unabhängige Aussage ist die Kontinuumshypothese, die sagt, dass es genau \(\aleph_1\) reelle Zahlen gibt.

Die Vorlesung führt in die Technik der Unabhängigkeitsbeweise ein. Nach ersten einfachen Forcings zur Kardinalzahlexponentiation werden wir ZF-Modelle ohne Auswahlaxiom und iterierte Forcings (z.B. zum Nachweis der relativen Konsistenz von Martins Axiom) kennenlernen. Es gibt ein Skript.

Vorkenntnisse

Notwendige Vorkenntnisse: Anfänger:innenvorlesungen \ Nützliche Vorkenntnisse: Mathematische Logik

Verwendbarkeit

Wahlmodul im Optionsbereich (2HfB21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Reine Mathematik (MSc14)
Mathematik (MSc14)
Vertiefungsmodul (MSc14)
Wahlmodul (MSc14)
Elective (MScData24)

Ort und Zeit

Seminar: Di, 16-18 Uhr, SR 125, Ernst-Zermelo-Str. 1
Seminarvorbesprechung 20.07., 13:00-14:00, Raum 313, Ernst-Zermelo-Str. 1, Bitte kommen Sie einfach vorbei. Wenn Sie selbst verhindert sind, können Sie auch eine Vertretung schicken.
Individuelle Vortragsvorbesprechungen: Termine nach Vereinbarung

Keine Kursbelegung über HISinOne, aber Prüfungsanmeldung bis 14.10.2026 erforderlich!

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger
Sprache: auf Deutsch

Inhalt

In den 1930er Jahren klärten Turing, Church und Kleene und andere unseren heutigen Begriff einer berechenbaren Menge von Wörtern (auch berechenbare Sprache genannt). Die berechenbaren Mengen sind die Turing-berechenbaren Mengen und werden auch rekursive Mengen genannt. Es gibt auch eine einfache zahlentheoretische Beschreibung. 1956 veröffentlichte Noam Chomsky eine für die Berechenbarkeitstheorie grundlegende Arbeit, in der er engere Berechenbarkeitsbegriffe einführt. Diese werden reguläre, kontextfreie und kontextsensitive Grammatiken genannt. Die allgemeine Chomsky-Grammatik stimmt mit der Klasse der rekursiv aufzählbaren Mengen überein.

Später fand man die Ensprechungen zwischen bestimmten Automaten-Berechnungsstärken und den Grammatikstufen. Nach Sätzen von Myhill und Nerode 1957 und Rabin und Scott 1958 gilt die Arbeit [1] von Bar-Hillel, Perles und Shamir mit dem Schleifensatz (“pumping lemma”) aus dem Jahre 1961 als weiterer wichtiger Meilenstein.

Wir werden im Proseminar die Zusammenhänge zwischen der Schreibkraft einer Turingmaschine und den verschiedenen Automaten auf der einen Seite und der Grammatikhierarchie auf der anderen Seite studieren. Bei Interesse kann man in der Originalliteratur studieren. Wir werden hauptsächlich mit dem über die UB online erhältlichen Springer Lehrbuch von Erk und Priese [2] arbeiten, in dem alle Entsprechungen gezeigt werden. Das klassische Lehrbuch von Hopcroft, Motwani und Ullman, Einführung in die Automatentheorie, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie [3] ist auch sehr gut geeignet. Nur die kontextsensitiven Grammatiken (dies ist \(L_1\) in der Chomsky-Hierarchie von \(L_3\), \(L_2\), \(L_1\), \(L_0\) , kleinerer Index – größere Klasse) werden dort kaum betrachtet.

Vorkenntnisse

Beweise durch vollständige Induktion

Verwendbarkeit

Proseminar (2HfB21, BSc21, MEH21, MEB21)

Ort und Zeit

Vorlesung: Di, Do, 10-12 Uhr, HS II, Albertstr. 23b
Übung: 2-stündig, Termin wird noch festgelegt und in der Vorlesung bekanntgegeben
Klausur 23.07., 10:00-12:00

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger
Assistenz: Simon Klemm
Sprache: auf Deutsch

Inhalt

Ein topologischer Raum besteht aus einer Grundmenge \(X\) und einer Festlegung der Menge der offenen Teilmengen der Grundmenge, die Topologie auf \(X\) genannt wird. Beispiele über den Grundmengen \(\mathbb R\) und \({\mathbb R}^n\) kommen in den Analysis-Vorlesungen vor. Das mathematische Fach \glqq{}Topologie\grqq\ ist die Lehre über topologische Räume und die Erforschung ebendieser. Unsere Vorlesung ist eine Einführung in die mengentheoretische und in die algebraische Topologie.

Vorkenntnisse

Analysis I und II, Lineare Algebra I

Verwendbarkeit

Wahlmodul im Optionsbereich (2HfB21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Vertiefung (MEd18, MEH21)
Reine Mathematik (MSc14)
Wahlmodul (MSc14)
Elective (MScData24)

Die Zahl der ECTS-Punkte entnehmen Sie bitte den Ergänzungen zu den Modulhandbüchern.

Ort und Zeit

Seminar: Di, 16-18 Uhr, SR 125, Ernst-Zermelo-Str. 1
Seminarvorbesprechung 27.01., 13:30, Raum 313, Ernst-Zermelo-Str. 1, Eine Voranmeldung ist nicht erforderlich!
Individuelle Vortragsvorbesprechungen: Termine nach Vereinbarung

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger
Assistenz: Maxwell Levine
Sprache: Vortrag/Teilnahme auf Deutsch oder Englisch möglich

Inhalt

Wir widmen uns in diesem Seminar kombinatorischen Fragen, die gleichzeitig zur Algebraischen Geometrie, zur Topologie und zur Mengenlehre gehören. Die Homologietheorie untersucht unter anderem Strukturmerkmale mithilfe von Limeskonstruktionen aus Abbildungen in abelsche Gruppen, Moduln oder andere Referenzstrukturen. Oft gibt es \(\mathbb N\)-viele verschiedene Limiten (die als Dimensionen gesehen werden können) und Verwandte von Projektionen (derivatives) zwischen diesen. Bestimmte Quotientengruppen und Limiten sollen ausgerechnet werden oder es soll zumindest bestimmt werden, ob diese isomorph zur einelementigen Gruppe sind. Kompaktheitseigenschaften gerichteter Systeme von Strukturen können die Einelementigkeit eines solchen Quotienten nach sich ziehen. In diesem Seminar interessieren wir uns für Strukturmerkmale von Familien zweistelliger Funktionen, wie sie zum Beispiel bei auf Hawaiischen Ohrringen basierenden Kettenkomplexen vorkommen. überraschenderweise ist schon die Frage nach dem Verschwinden von \(\lim^1\) unabhängig von ZFC.

Vorkenntnisse

Als Grundkenntnisse sind die einführende Topologievorlesung und die Definition von Ordinalzahl und Kardinalzahl nützlich. Manche Vorträge brauchen nur eines von beiden. Wir werden die benötigten Grundlagen aus der Algebraischen Geometrie und der Homologietheorie in den Vorträgen vorstellen.

Verwendbarkeit

Wahlmodul im Optionsbereich (2HfB21)
Mathematisches Seminar (BSc21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Ergänzung (MEd18)
Mathematisches Seminar (MSc14)
Wahlmodul (MSc14)
Elective (MScData24)

Die Zahl der ECTS-Punkte entnehmen Sie bitte den Ergänzungen zu den Modulhandbüchern.

Ort und Zeit

Seminar: Di, 16-18 Uhr, SR 127, Ernst-Zermelo-Str. 1
Voranmeldung: keine, kommen Sie zur Vorbesprechung!
Seminarvorbesprechung 23.07., 12:15, Fakultätssitzungsraum 427, Ernst-Zermelo-Str. 1
Individuelle Vortragsvorbesprechungen: Termine nach Vereinbarung

In HISinOne keine Belegung, aber Prüfungsanmeldung bis 8.10.2025.

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger
Assistenz: Stefan Ludwig
Sprache: auf Deutsch

Inhalt

Themen sind: Endliche und unendliche Graphen, Eulerpfade, Verbundenheitseigenschaften, Färbungen, Spannbäume, Zufallsgraphen. Wenn gewünscht, können auch fortgeschrittenere Gegenstände, wie zum Beispiel der Rado-Graph und 0-1-Gesetze oder probabilistische Methoden vorgestellt werden.

Vorkenntnisse

Lineare Algebra I und II, Analysis I und II

Verwendbarkeit

Proseminar (2HfB21, BSc21, MEH21, MEB21)

Die Zahl der ECTS-Punkte entnehmen Sie bitte den Ergänzungen zu den Modulhandbüchern.

Ort und Zeit

Vorlesung: Mi, 10-12 Uhr, HS 00-026, Georges-Köhler-Allee 101
Übung: 2-stündig, verschiedene Termine

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger
Assistenz: Simon Klemm
Sprache: auf Deutsch

Ort und Zeit

Vorlesung: Di, Do, 10-12 Uhr, HS II, Albertstr. 23b
Übung: 2-stündig, Termin wird noch festgelegt und in der Vorlesung bekanntgegeben
Klausur 22.07.
Nachklausur 13.10.

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger
Assistenz: Hannes Jakob
Sprache: auf Deutsch

Inhalt

Ein topologischer Raum besteht aus einer Grundmenge \(X\) und einer Festlegung der Menge der offenen Teilmengen der Grundmenge, die Topologie auf \(X\) genannt wird. Beispiele über den Grundmengen \(\mathbb R\) und \({\mathbb R}^n\) kommen in den Analysis-Vorlesungen vor. Das mathematische Fach \glqq{}Topologie\grqq\ ist die Lehre über topologische Räume und die Erforschung ebendieser. Unsere Vorlesung ist eine Einführung in die mengentheoretische und in die algebraische Topologie.

Vorkenntnisse

Analysis I und II, Lineare Algebra I

Verwendbarkeit

Wahlmodul im Optionsbereich (2HfB21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Vertiefung (MEd18, MEH21)
Reine Mathematik (MSc14)
Wahlmodul (MSc14)
Elective (MScData24)

Die Zahl der ECTS-Punkte entnehmen Sie bitte den Ergänzungen zu den Modulhandbüchern.

Ort und Zeit

Seminar: Di, 16-18 Uhr, SR 403, Ernst-Zermelo-Str. 1
Seminarvorbesprechung 29.01., 13:15, Raum 313, Ernst-Zermelo-Str. 1
Individuelle Vortragsvorbesprechungen: Termine nach Vereinbarung

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger
Assistenz: Maxwell Levine
Sprache: Vortrag/Teilnahme auf Deutsch oder Englisch möglich

Inhalt

Das Auswahlaxiom gehört zu den akzeptierten unbeweisbaren Grundannahmen. Es sagt, dass jede Menge \(M\) nicht leerer Mengen eine Auswahlfunktion hat, das ist eine Funktion \(f : M \to \bigcup M\) mit der Eigenschaft \(\forall x \in M\), \(f(x) \in x\). Auf der Basis der anderen Axiome ZF von Zermelo und Fraenkel gibt es zahlreiche zum Auswahlaxiom äquivalente Aussagen, zum Beispiel die Wohlordenbarkeit jeder Menge und das Lemma von Zorn. Wir studieren in diesem Seminar Modelle der Axiome ZF, in denen das Auswahlaxiom explizit negiert wird. Am Anfang stehen Modelle zum Beweis des folgenden Satzen von Cohen aus dem Jahre 1963: Wenn ZF konsistent ist, so auch ZF und das Negat von AC. Ein Jahr später zeigte Solovay: Es gibt ZF-Modelle, in denen jede Teilmenge der reellen Zahlen Lebesgue-messbar ist, es also keine Vitali-Menge gibt. Zwanzig Jahre später fand man: Eine stark unerreichbare Kardinalzahl ist zur Konstruktion eines solchen Modells unerlässlich. Zahlreiche Fragen nach Abstufungen und besonderen Formen der Negation des Auswahlaxioms sind offen.

Vorkenntnisse

Mengenlehre

Verwendbarkeit

Wahlmodul im Optionsbereich (2HfB21)
Mathematisches Seminar (BSc21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Ergänzung (MEd18)
Mathematisches Seminar (MSc14)
Wahlmodul (MSc14)
Elective (MScData24)

Die Zahl der ECTS-Punkte entnehmen Sie bitte den Ergänzungen zu den Modulhandbüchern.

Ort und Zeit

Vorlesung: Di, Do, 10-12 Uhr, HS II, Albertstr. 23b

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger
Assistenz: Hannes Jakob

Verwendbarkeit

Mathematische Vertiefung (MEd18, MEH21)
Reine Mathematik (MSc14)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)

Ort und Zeit

Mo, 10-12 Uhr, SR 125, Ernst-Zermelo-Str. 1

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger
Assistenz: Hannes Jakob

Verwendbarkeit

Mathematische Ergänzung (MEd18)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)

Ort und Zeit

Di, 14:30-16 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1

Lehre

Dozent:in: Amador Martín Pizarro, Heike Mildenberger

Ort und Zeit

Vorlesung: Mo, Mi, 10-12 Uhr, HS II, Albertstr. 23b

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger
Assistenz: Hannes Jakob
Allgemein: Kategorie III

Ort und Zeit

† ab Januar 2023: Mo, Di, 16-18 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger
Assistenz: Maxwell Levine

Verwendbarkeit

Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Ergänzung (MEd18)

Ort und Zeit

Di, 14-16 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger, Amador Martín Pizarro

Ort und Zeit

Vorlesung: Di, Do, 10-12 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger
Assistenz: Christian Bräuninger, Hannes Jakob
Allgemein: Veranstaltung der Kategorie III

Ort und Zeit

† Vorlesung (bis KW 24): Mo, 16-18 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1
† Vorlesung (ab KW 25): Mo, 10-12 Uhr, SR 119, Ernst-Zermelo-Str. 1

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger
Assistenz: Francesco Gallinaro, Hannes Jakob
Allgemein: Veranstaltung der Kategorie III

Ort und Zeit

Di, 14:30-16 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1

Lehre

Dozent:in: Amador Martín Pizarro, Heike Mildenberger

Ort und Zeit

Vorlesung: Mi, 10-12 Uhr, HS 00-026, Georges-Köhler-Allee 101

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger
Assistenz: Christian Bräuninger

Ort und Zeit

Di, 16-18 Uhr, SR 125, Ernst-Zermelo-Str. 1

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger
Assistenz: Maxwell Levine

Verwendbarkeit

Proseminar (2HfB21, BSc21, MEH21, MEB21)

Ort und Zeit

† ab Januar 2023: Mo, 16-18 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1, Fr, 16-18 Uhr, SR 403, Ernst-Zermelo-Str. 1

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger
Assistenz: Maxwell Levine

Verwendbarkeit

Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Ergänzung (MEd18)

Ort und Zeit

Di, 14-16 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger, Amador Martín Pizarro

Ort und Zeit

Vorlesung: Di, Do, 8-10 Uhr, HS Rundbau, Albertstr. 21

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger
Assistenz: Christian Bräuninger
Allgemein: Pflichtveranstaltung im Bachelor-Studiengang Mathematik, Pflichtveranstaltung im 2-HF-Bachelor

Verwendbarkeit

Lineare Algebra II – fachfremd (BScInfo, BScPhys)

Ort und Zeit

Mo, 14-16 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger
Assistenz: Maxwell Levine

Verwendbarkeit

Mathematische Ergänzung (MEd18)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)

Ort und Zeit

Di, 14:30-16 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1

Lehre

Dozent:in: Amador Martín Pizarro, Heike Mildenberger

Ort und Zeit

Vorlesung: Mo, Do, 8-10 Uhr, HS Rundbau, Albertstr. 21
Fragestunde: Mo, 18-20 Uhr, SR 125, Ernst-Zermelo-Str. 1
Klausur 15.02., 08:00-12:00
Nachklausur 06.04., 09:00-13:00

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger
Assistenz: Christian Bräuninger
Allgemein: Pflichtveranstaltung im B.Sc., Pflichtveranstaltung im 2-Hf-B

Verwendbarkeit

Lineare Algebra I – fachfremd (BScInfo, BScPhys)

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger
Assistenz: Maxwell Levine

Verwendbarkeit

Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Ergänzung (MEd18)

Ort und Zeit

Di, 14-16 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1

Lehre

Dozent:in: Amador Martín Pizarro, Heike Mildenberger

Ort und Zeit

Übung: Do, 16-18 Uhr, -, -
Fragestunde: Do, 11-12 Uhr, -, -, über ILIAS
Klausur 22.07., 10:00-13:00

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger
Assistenz: Maxwell Levine
Allgemein: Veranstaltung der Kategorie II

Verwendbarkeit

Reine Mathematik (MSc14)
Mathematische Vertiefung (MEd18, MEH21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)

Ort und Zeit

Mo, 16-18 Uhr, , online

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger
Assistenz: Brendan Stuber-Rousselle

Verwendbarkeit

Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Ergänzung (MEd18)

Ort und Zeit

Di, 14:30-16 Uhr, bbb-Raum "Philidor", online

Lehre

Dozent:in: Amador Martín Pizarro, Heike Mildenberger

Ort und Zeit

Übung: Do, 16-18 Uhr, online, -, auf Ilias via BigBlueButton
Klausur 11.02., 10:00-13:00

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger
Assistenz: Brendan Stuber-Rousselle
Allgemein: Kategorie III

Verwendbarkeit

Mathematische Vertiefung (MEd18, MEH21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger
Assistenz: Maxwell Levine

Verwendbarkeit

Mathematische Ergänzung (MEd18)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)

Ort und Zeit

Mi, 16-18 Uhr, , online

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger, Amador Martín Pizarro

Ort und Zeit

Vorlesung: Di, Do, 10-12 Uhr, HS II, Albertstr. 23b
Klausur 21.09., 10:00-12:00
Nachklausur 11.02., 10:00-13:00

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger
Assistenz: Giorgio Laguzzi
Allgemein: Veranstaltung der Kategorie II

Verwendbarkeit

Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Reine Mathematik (MSc14)
Mathematische Vertiefung (MEd18, MEH21)

Ort und Zeit

Mo, 16-18 Uhr, HS II, Albertstr. 23b

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger
Assistenz: Brendan Stuber-Rousselle

Verwendbarkeit

Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)

Ort und Zeit

Mi, 16-18 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1

Lehre

Dozent:in: Amador Martín Pizarro, Heike Mildenberger

Ort und Zeit

Vorlesung: Di, Do, 10-12 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1
Klausur 25.07., 10:00-12:00

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger
Assistenz: Brendan Stuber-Rousselle
Allgemein: Wahlpflichtveranstaltung im M.Ed., Veranstaltung der Kategorie II

Verwendbarkeit

Reine Mathematik (MSc14)
Mathematische Vertiefung (MEd18, MEH21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)

Ort und Zeit

Vorlesung: Mo, 16-18 Uhr, HS II, Albertstr. 23b

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger
Assistenz: Giorgio Laguzzi
Allgemein: Veranstaltung der Kategorie III

Verwendbarkeit

Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)

Ort und Zeit

Mo, 14-16 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1

Lehre

Dozent:in: Amador Martín Pizarro, Heike Mildenberger

Ort und Zeit

Vorlesung: Di, Do, 10-12 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger
Assistenz: Brendan Stuber-Rousselle
Allgemein: Kategorie III

Verwendbarkeit

Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)

Ort und Zeit

Di, 16-18 Uhr, SR 403, Ernst-Zermelo-Str. 1

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger
Assistenz: Giorgio Laguzzi

Verwendbarkeit

Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Ergänzung (MEd18)

Ort und Zeit

Mi, 16-18 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger, Amador Martín Pizarro