Ort und Zeit

Seminar: Di, 14-16 Uhr, SR 125, Ernst-Zermelo-Str. 1
Seminarvorbesprechung 28.01., 12:15, Raum 232, Ernst-Zermelo-Str. 1
Individuelle Vortragsvorbesprechungen: Termine nach Vereinbarung

Lehre

Dozent:in: Susanne Knies, Maxwell Levine
Sprache: auf Deutsch

Inhalt

Wie viele Wächter braucht ein Musuem? Wie kann ich \(\pi\) durch das werfen einer Nadel abschätzen? Wie viele Beweise für die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen gibt es? Diese und andere Fragen werden durch klassische mathematische Resultate mit besonders eleganten Beweisen beantwortet. Diese (und weitere) wurden von Aigner und Ziegler im BUCH der Beweise zusammengestellt, aus welchem ausgewählte Kapitel in diesem Proseminar vorgestellt werden. Eine Liste möglicher Vortragsthemen finden Sie hier

Vorkenntnisse

Analysis I und II, Lineare Algebra I und II

Verwendbarkeit

Proseminar (2HfB21, BSc21, MEH21, MEB21)

Die Zahl der ECTS-Punkte entnehmen Sie bitte den Ergänzungen zu den Modulhandbüchern.

Ort und Zeit

Seminar: Di, 16-18 Uhr, SR 125, Ernst-Zermelo-Str. 1
Seminarvorbesprechung 27.01., 13:30, Raum 313, Ernst-Zermelo-Str. 1, Eine Voranmeldung ist nicht erforderlich!
Individuelle Vortragsvorbesprechungen: Termine nach Vereinbarung

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger
Assistenz: Maxwell Levine
Sprache: Vortrag/Teilnahme auf Deutsch oder Englisch möglich

Inhalt

Wir widmen uns in diesem Seminar kombinatorischen Fragen, die gleichzeitig zur Algebraischen Geometrie, zur Topologie und zur Mengenlehre gehören. Die Homologietheorie untersucht unter anderem Strukturmerkmale mithilfe von Limeskonstruktionen aus Abbildungen in abelsche Gruppen, Moduln oder andere Referenzstrukturen. Oft gibt es \(\mathbb N\)-viele verschiedene Limiten (die als Dimensionen gesehen werden können) und Verwandte von Projektionen (derivatives) zwischen diesen. Bestimmte Quotientengruppen und Limiten sollen ausgerechnet werden oder es soll zumindest bestimmt werden, ob diese isomorph zur einelementigen Gruppe sind. Kompaktheitseigenschaften gerichteter Systeme von Strukturen können die Einelementigkeit eines solchen Quotienten nach sich ziehen. In diesem Seminar interessieren wir uns für Strukturmerkmale von Familien zweistelliger Funktionen, wie sie zum Beispiel bei auf Hawaiischen Ohrringen basierenden Kettenkomplexen vorkommen. überraschenderweise ist schon die Frage nach dem Verschwinden von \(\lim^1\) unabhängig von ZFC.

Vorkenntnisse

Als Grundkenntnisse sind die einführende Topologievorlesung und die Definition von Ordinalzahl und Kardinalzahl nützlich. Manche Vorträge brauchen nur eines von beiden. Wir werden die benötigten Grundlagen aus der Algebraischen Geometrie und der Homologietheorie in den Vorträgen vorstellen.

Verwendbarkeit

Wahlmodul im Optionsbereich (2HfB21)
Mathematisches Seminar (BSc21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Ergänzung (MEd18)
Mathematisches Seminar (MSc14)
Wahlmodul (MSc14)
Elective (MScData24)

Die Zahl der ECTS-Punkte entnehmen Sie bitte den Ergänzungen zu den Modulhandbüchern.

Ort und Zeit

Vorlesung: Do, 14-16 Uhr, SR 226, Hermann-Herder-Str. 10
Übung: 2-stündig, Termin wird noch festgelegt und in der Vorlesung bekanntgegeben

Die Anforderungen an Studien- und Prüfungsleistungen werden in den aktuellen Ergänzungen der Modulhandbücher beschrieben, die ab Ende Oktober 2025 als Teil des Kommentierten Vorlesungsverzeichnisses veröffentlicht werden.

Lehre

Dozent:in: Maxwell Levine
Sprache: auf Englisch

Inhalt

Developments in artificial intelligence have boomed in recent years, holding the potential to reshape not just our daily routines but also society at large. Many bold claims have been made regarding the power and reach of AI. From a mathematical perspective, one is led to ask: What are its limitations? To what extent does our knowledge of reasoning systems in general apply to AI?

This course is intended to provide some applications of mathematical logic to the field of machine learning, a field within artificial intelligence. The goal of the course is to present a breadth of approachable examples.

The course will include a gentle introduction to machine learning in a somewhat abstract setting, including the notions of PAC learning and VC dimension. Connections to set theory and computability theory will be explored through statements in machine learning that are provably undecidable. We will also study some applications of model theory to machine learning.

The literature indicated in the announcement is representative but tentative. A continuously written PDF of course notes will be the main resource for students.

Vorkenntnisse

Background in basic mathematical logic is strongly recommended. Students should be familiar with the following notions: ordinals, cardinals, transfinite induction, the axioms of ZFC, the notion of a computable function, computable and computably enumerable sets (a.k.a. recursive and recursively enumerable sets), the notions of languages and theories and structures as understood in model theory, atomic diagrams, elementarity, and types. The concepts will be reviewed briefly in the lectures. Students are not expected to be familiar with the notion of forcing in set theory.

Verwendbarkeit

Wahlmodul im Optionsbereich (2HfB21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Ergänzung (MEd18)
Reine Mathematik (MSc14)
Mathematik (MSc14)
Vertiefungsmodul (MSc14)
Wahlmodul (MSc14)
Elective in Data (MScData24)

Die Zahl der ECTS-Punkte entnehmen Sie bitte den Ergänzungen zu den Modulhandbüchern.

Ort und Zeit

Seminar: Di, 16-18 Uhr, SR 403, Ernst-Zermelo-Str. 1
Seminarvorbesprechung 29.01., 13:15, Raum 313, Ernst-Zermelo-Str. 1
Individuelle Vortragsvorbesprechungen: Termine nach Vereinbarung

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger
Assistenz: Maxwell Levine
Sprache: Vortrag/Teilnahme auf Deutsch oder Englisch möglich

Inhalt

Das Auswahlaxiom gehört zu den akzeptierten unbeweisbaren Grundannahmen. Es sagt, dass jede Menge \(M\) nicht leerer Mengen eine Auswahlfunktion hat, das ist eine Funktion \(f : M \to \bigcup M\) mit der Eigenschaft \(\forall x \in M\), \(f(x) \in x\). Auf der Basis der anderen Axiome ZF von Zermelo und Fraenkel gibt es zahlreiche zum Auswahlaxiom äquivalente Aussagen, zum Beispiel die Wohlordenbarkeit jeder Menge und das Lemma von Zorn. Wir studieren in diesem Seminar Modelle der Axiome ZF, in denen das Auswahlaxiom explizit negiert wird. Am Anfang stehen Modelle zum Beweis des folgenden Satzen von Cohen aus dem Jahre 1963: Wenn ZF konsistent ist, so auch ZF und das Negat von AC. Ein Jahr später zeigte Solovay: Es gibt ZF-Modelle, in denen jede Teilmenge der reellen Zahlen Lebesgue-messbar ist, es also keine Vitali-Menge gibt. Zwanzig Jahre später fand man: Eine stark unerreichbare Kardinalzahl ist zur Konstruktion eines solchen Modells unerlässlich. Zahlreiche Fragen nach Abstufungen und besonderen Formen der Negation des Auswahlaxioms sind offen.

Vorkenntnisse

Mengenlehre

Verwendbarkeit

Wahlmodul im Optionsbereich (2HfB21)
Mathematisches Seminar (BSc21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Ergänzung (MEd18)
Mathematisches Seminar (MSc14)
Wahlmodul (MSc14)
Elective (MScData24)

Die Zahl der ECTS-Punkte entnehmen Sie bitte den Ergänzungen zu den Modulhandbüchern.

Ort und Zeit

Vorlesung: Di, Do, 12-14 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1
Übung: 2-stündig, Termin wird noch festgelegt und in der Vorlesung bekanntgegeben

Lehre

Dozent:in: Maxwell Levine
Assistenz: Hannes Jakob
Sprache: auf Englisch

Inhalt

How does one prove that something cannot be proved? More precisely, how does one prove that a particular statement does not follow from a particular collection of axioms?

These questions are often asked with respect to the axioms most commonly used by mathematicians: the axioms of Zermelo-Fraenkel set theory, or ZFC for short. In this course, we will develop the conceptual tools needed to understand independence proofs with respect to ZFC. On the way we will develop the theory of ordinal and cardinal numbers, the basics of inner model theory, and the method of forcing. In particular, we will show that Cantor's continuum hypothesis, the statement that \(2^{\aleph_0}=\aleph_1\), is independent of ZFC.

Vorkenntnisse

Notwendig: Mathematische Logik

Verwendbarkeit

Wahlmodul im Optionsbereich (2HfB21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Vertiefung (MEd18, MEH21)
Reine Mathematik (MSc14)
Mathematik (MSc14)
Vertiefungsmodul (MSc14)
Wahlmodul (MSc14)
Elective (MScData24)

Die Zahl der ECTS-Punkte entnehmen Sie bitte den Ergänzungen zu den Modulhandbüchern.

Ort und Zeit

Vorlesung: Mi, 12-14 Uhr, SR 127, Ernst-Zermelo-Str. 1

Lehre

Dozent:in: Maxwell Levine

Ort und Zeit

† ab Januar 2023: Mo, Di, 16-18 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger
Assistenz: Maxwell Levine

Verwendbarkeit

Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Ergänzung (MEd18)

Ort und Zeit

Di, 12-14 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1

Lehre

Dozent:in: Christian Ketterer
Assistenz: Maxwell Levine

Verwendbarkeit

Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Ergänzung (MEd18)

Ort und Zeit

Vorlesung: Do, 14-16 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1

Lehre

Dozent:in: Maxwell Levine
Assistenz: Maxwell Levine
Allgemein: Veranstaltung der Kategorie III

Ort und Zeit

Di, 16-18 Uhr, SR 125, Ernst-Zermelo-Str. 1

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger
Assistenz: Maxwell Levine

Verwendbarkeit

Proseminar (2HfB21, BSc21, MEH21, MEB21)

Ort und Zeit

† ab Januar 2023: Mo, 16-18 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1, Fr, 16-18 Uhr, SR 403, Ernst-Zermelo-Str. 1

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger
Assistenz: Maxwell Levine

Verwendbarkeit

Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Ergänzung (MEd18)

Ort und Zeit

Vorlesung: Mi, 14-16 Uhr, SR 125, Ernst-Zermelo-Str. 1

Lehre

Dozent:in: Maxwell Levine
Allgemein: Veranstaltung der Kategorie III

Verwendbarkeit

Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Ergänzung (MEd18)

Ort und Zeit

Mo, 14-16 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger
Assistenz: Maxwell Levine

Verwendbarkeit

Mathematische Ergänzung (MEd18)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger
Assistenz: Maxwell Levine

Verwendbarkeit

Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Ergänzung (MEd18)

Ort und Zeit

Übung: Do, 16-18 Uhr, -, -
Fragestunde: Do, 11-12 Uhr, -, -, über ILIAS
Klausur 22.07., 10:00-13:00

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger
Assistenz: Maxwell Levine
Allgemein: Veranstaltung der Kategorie II

Verwendbarkeit

Reine Mathematik (MSc14)
Mathematische Vertiefung (MEd18, MEH21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)

Ort und Zeit

Vorlesung: Do, 14-16 Uhr, , online
Übung: Mo, 12-14 Uhr, , online

Lehre

Dozent:in: Maxwell Levine
Assistenz: Christian Bräuninger
Allgemein: Veranstaltung der Kategorie III

Verwendbarkeit

Mathematische Ergänzung (MEd18)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)

Lehre

Dozent:in: Heike Mildenberger
Assistenz: Maxwell Levine

Verwendbarkeit

Mathematische Ergänzung (MEd18)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)