Probability Theory III: Stochastic Analysis (Wahrscheinlichkeitstheorie III: Stochastische Analysis)
Vorlesung: Mi, 14-16 Uhr, HS II, Albertstr. 23b, Do, 10-12 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1
Übung: 2-stündig, Termin wird noch festgelegt
Dozent:in: David Criens
Assistenz: Samuel Adeosun
Sprache: auf Englisch
This lecture builds the foundation of one of the key areas of probability theory: stochastic analysis. We start with a rigorous construction of the It^o integral that integrates against a Brownian motion (or, more generally, a continuous local martingale). In this connection, we learn about It^o's celebrated formula, Girsanov’s theorem, representation theorems for continuous local martingales and about the exciting theory of local times. Then, we discuss the relation of Brownian motion and Dirichlet problems. In the final part of the lecture, we study stochastic differential equations, which provide a rich class of stochastic models that are of interest in many areas of applied probability theory, such as mathematical finance, physics or biology. We discuss the main existence and uniqueness results, the connection to the martingale problem of Stroock-Varadhan and the important Yamada-Watanabe theory.
Wahrscheinlichkeitstheorie I und II (Stochastische Prozesse)
Wahlmodul im Optionsbereich (2HfB21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Angewandte Mathematik (MSc14)
Mathematik (MSc14)
Vertiefungsmodul (MSc14)
Wahlmodul (MSc14)
Advanced Lecture in Stochastics (MScData24)
Elective in Data (MScData24)
Proseminar: Gegenbeispiele in der Wahrscheinlichkeitstheorie
Dozent:in: David Criens
Assistenz: Andreas Demleitner
Es sind nicht nur Sätze, Beweise oder illustrierende Beispiele, sondern auch Gegenbeispiele, die die Tiefe und Schönheit einer Theorie aufzeigen. Natürliche Fragen sind: (a) sind die Voraussetzungen eines Satzes notwendig und nicht nur hinreichend; (b) sind Voraussetzungen hinreichend und nicht nur notwendig; (c) gelten auch Gegenrichtungen von Aussagen. In diesem Proseminar beschäftigen wir uns mit Gegenbeispielen aus dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie. Mögliche Themen reichen von klassischen Fragestellungen, wie der Messbarkeit, Unabhängigkeit von Zufallsvariablen, Erwartungswerten oder bedingten Wahrscheinlichkeiten, bis hin zu fortgeschritteneren Themen, wie Grenzwertsätzen, Martingalen oder Markov Prozessen. Für jeden interessierten Studierenden kann ein passendes Thema gefunden werden.
Stochastik I (es können auch Themen aus Wahrscheinlichkeitstheorie I–III vergeben werden)
Proseminar (2HfB21, BSc21, MEH21, MEB21)
Vorlesung: Di, Mi, 16-18 Uhr, HS II, Albertstr. 23b
Übung: 2-stündig, Termin wird noch festgelegt
Klausur 24.02., 14:00-16:00, HS II, Albertstr. 23b
Dozent:in: David Criens
Assistenz: Eric Trébuchon
Sprache: auf Deutsch
Die Funktionentheorie beschäftigt sich mit Funktionen \(f : \mathbb C \to \mathbb C\) , die komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen abbilden. Viele Konzepte der Analysis~I lassen sich direkt auf diesen Fall übertragen, z.\,B. die Definition der Differenzierbarkeit. Man würde vielleicht erwarten, dass sich dadurch eine zur Analysis~I analoge Theorie entwickelt, doch viel mehr ist wahr: Man erhält eine in vielerlei Hinsicht elegantere und einfachere Theorie. Beispielsweise impliziert die komplexe Differenzierbarkeit auf einer offenen Menge, dass eine Funktion sogar unendlich oft differenzierbar ist, und dies stimmt weiter mit Analytizität überein. Für reelle Funktionen sind alle diese Begriffe unterschiedlich. Doch auch einige neue Ideen sind notwendig: Für reelle Zahlen \(a\), \(b\) integriert man für \[\int_a^b f(x) \mathrm dx\] über die Elemente des Intervalls \([a, b]\) bzw. \([b, a]\). Sind \(a\), \(b\) jedoch komplexe Zahlen, ist nicht mehr so klar, wie man ein solches Integral auf"|fassen soll. Man könnte z.\,B. in den komplexen Zahlen entlang der Strecke, die \(a, b \in \mathbb C\) verbindet, integrieren, oder aber entlang einer anderen Kurve, die von \(a\) nach \(b\) führt. Führt dies zu einem wohldefinierten Integralbegriff oder hängt ein solches Kurvenintegral von der Wahl der Kurve ab?
Notwendig: Analysis I+II, Lineare Algebra I
Wahlmodul im Optionsbereich (2HfB21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Vertiefung (MEd18, MEH21)
Reine Mathematik (MSc14)
Wahlmodul (MSc14)
Elective (MScData24)
Vorlesung: Do, 12-14 Uhr, SR 226, Hermann-Herder-Str. 10
Übung: 2-stündig, Termin wird noch festgelegt
Dozent:in: David Criens
Assistenz: Dario Kieffer
Sprache: auf Englisch
Die Klasse der Markov-Ketten ist eine wichtige Klasse von (zeitdiskreten) stochastischen Prozessen, die häufig verwendet werden, um zum Beispiel die Ausbreitung von Infektionen, Warteschlangensysteme oder Wechsel von Wirtschaftsszenarien zu modellieren. Ihr Hauptmerkmal ist die Markov-Eigenschaft, was in etwa bedeutet, dass die Zukunft von der Vergangenheit nur durch den aktuellen Zustand abhängt. In dieser Vorlesung wird die mathematischen Grundlagen der Theorie der Markov-Ketten vorgestellt. Insbesondere diskutieren wir über Pfadeigenschaften, wie Rekurrenz, Transienz, Zustandsklassifikationen sowie die Konvergenz zu einem Gleichgewicht. Wir untersuchen auch Erweiterungen auf kontinuierliche Zeit. Auf dem Weg dorthin diskutieren wir Anwendungen in der Biologie, in Warteschlangensystemen und im Ressourcenmanagement. Wenn es die Zeit erlaubt, werfen wir auch einen Blick auf Markov-Ketten mit zufälligen Übergangswahrscheinlichkeiten, sogenannten Irrfahrten in zufälliger Umgebung, ein verbreitetes Modell für Zufällige Medien.
Notwendig: Stochastik~I \ Nützlich: Analysis~III, Wahrscheinlichkeitstheorie~I
Wahlmodul im Optionsbereich (2HfB21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Ergänzung (MEd18)
Angewandte Mathematik (MSc14)
Mathematik (MSc14)
Vertiefungsmodul (MSc14)
Wahlmodul (MSc14)
Elective in Data (MScData24)
Stochastik für Studierende der Informatik
Vorlesung (2-stündig): Mo, 10-12 Uhr, HS 00-036, Georges-Köhler-Allee 101
Dozent:in: David Criens
Assistenz: Timo Enger
Oberseminar: Stochastik
Mi, 16-17 Uhr, HS II, Albertstr. 23b
Dozent:in: David Criens, Peter Pfaffelhuber, Angelika Rohde, Thorsten Schmidt
Vorlesung: Do, 12-14 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1
Dozent:in: David Criens
Allgemein: Kategorie III
Mi, 14-16 Uhr, SR 125, Ernst-Zermelo-Str. 1
Dozent:in: Angelika Rohde, David Criens
Mathematische Ergänzung (MEd18)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Oberseminar: Stochastik
Mi, 16-17 Uhr, SR 226, Hermann-Herder-Str. 10
Dozent:in: David Criens, Angelika Rohde, Thorsten Schmidt
Stochastik II
Vorlesung: Fr, 10-12 Uhr, HS Weismann-Haus, Albertstr. 21a
Klausur 31.07., 15:30-18:00
Nachklausur 13.02., 10:00-12:00
Dozent:in: David Criens
Assistenz: Timo Enger
Allgemein: Veranstaltung der Kategorie II, Pflichtveranstaltung im 2-HF-Bachelor
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Oberseminar: Stochastik
Fr, 13-14 Uhr, HS II, Albertstr. 23b
Dozent:in: David Criens, Peter Pfaffelhuber, Angelika Rohde, Thorsten Schmidt
Vorlesung: Fr, 10-12 Uhr, HS Weismann-Haus, Albertstr. 21a
Klausur 23.02., 13:00-16:00
Dozent:in: David Criens
Assistenz: Timo Enger
Allgemein: Pflichtveranstaltung im B.Sc., Pflichtveranstaltung im 2-Hf-B
Stochastik I (BSc21, MEB21, MEdual24)
Seminar: Nichtlineare Semimartingale und Markov-Prozesse
Do, 10-12 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1
Dozent:in: David Criens
Assistenz: Lars Niemann
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Ergänzung (MEd18)
Oberseminar: Stochastik
Fr, 13-14 Uhr, HS II, Albertstr. 23b
Dozent:in: David Criens, Peter Pfaffelhuber
Mathematik II für Studierende der Informatik
Dozent:in: David Criens
Assistenz: Saskia Glaffig