Ausführliche Informationen zu den Veranstaltungen finden sich im Kommentierten Vorlesungsverzeichnis und in den Modulhandbüchern (siehe bei den einzelnen Studiengängen).
Algebraic Number Theory (Algebraische Zahlentheorie)
Dozent:in: Abhishek Oswal
Assistenz: Andreas Demleitner
Sprache: auf Englisch
Vorlesung: Di, Do, 12-14 Uhr, HS II, Albertstr. 23b
Übung: 2-stündig, Termin wird noch festgelegt
Kurze Beschreibung der Themen: Zahlkörper, Primzahlzerlegung in Dedekind-Ringen, Idealklassengruppen, Einheitengruppen, Dirichlet'scher Einheitensatz, lokale Körper, Bewertungen, Zerlegungs- und Trägheitsgruppen, Einführung in die Klassenkörpertheorie.
Notwendig: Algebra und Zahlentheorie
Mathematische Vertiefung
Die Anforderungen an Studien- und Prüfungsleistungen sind in den aktuellen Ergänzungen der Modulhandbücher beschrieben.
Dozent:in: Patrick Dondl
Assistenz: Oliver Suchan
Sprache: auf Deutsch
Vorlesung: Mo, 12-14 Uhr, HS Rundbau, Albertstr. 21, Mi, 10-12 Uhr, HS Weismann-Haus, Albertstr. 21a
Übung: 2-stündig, verschiedene Termine
Klausur 19.02., 10:15-11:45, HS Rundbau, Albertstr. 21
Nachklausur 28.04., 10:00-11:30, SR 226, Hermann-Herder-Str. 10
Lebesgue-Maß und Maßtheorie, Lebesgue-Integral auf Maßräumen und Satz von Fubini, Fourier-Reihen und Fourier-Transformation, Hilbert-Räume. Differentialformen, ihre Integration und äußere Ableitung. Satz von Stokes und Satz von Gauß.
Notwendig: Analysis I und II, Lineare Algebra I
Mathematische Vertiefung
Die Anforderungen an Studien- und Prüfungsleistungen sind in den aktuellen Ergänzungen der Modulhandbücher beschrieben.
Dozent:in: Sebastian Goette
Assistenz: Mikhail Tëmkin
Sprache: auf Deutsch
Vorlesung: Mo, Mi, 14-16 Uhr, HS II, Albertstr. 23b
Übung: 2-stündig, Termin wird noch festgelegt
Die Differentialgeometrie, speziell die Riemannsche Geometrie, besch"aftigt sich mit den geometrischen Eigenschaften gekr"ummter R"aume. Solche R"aume treten auch in anderen Bereichen der Mathematik und Physik auf, beispielsweise in der geometrischen Analysis, der theoretischen Mechanik und der allgemeinen Relativit"atstheorie.
Im ersten Teil der Vorlesung lernen wir Grundbegriffe der Differentialgeometrie (z.\ B. differenzierbare Mannigfaltigkeiten, Vektorb"undel, Zusammenh"ange und ihre Kr"ummung) und der Riemannschen Geometrie (Riemannscher Kr"ummungstensor, Geod"atische, Jacobi-Felder etc.) kennen.
Im zweiten Teil betrachten wir das Zusammenspiel zwischen lokalen Eigenschaften Riemannscher Mannigfaltigkeiten wie der Kr"ummung und globalen topologischen und geometrischen Eigenschaften wie Kompaktheit, Fundamentalgruppe, Durchmesser, Volumenwachstum und Gestalt geod"atischer Dreiecke.
Notwendig: Analysis~I–III, Lineare Algebra~I und II \ Nützlich: Kurven und Flächen, Topologie
Mathematische Vertiefung
Die Anforderungen an Studien- und Prüfungsleistungen sind in den aktuellen Ergänzungen der Modulhandbücher beschrieben.
Dozent:in: Guofang Wang
Assistenz: Christine Schmidt, Xuwen Zhang
Sprache: auf Deutsch
Vorlesung: Mo, Mi, 12-14 Uhr, HS II, Albertstr. 23b
Übung: 2-stündig, Termin wird noch festgelegt
Eine Vielzahl unterschiedlicher Probleme aus den Naturwissenschaften und der Geometrie führt auf partielle Differentialgleichungen. Mithin kann keine Rede von einer allumfassenden Theorie sein. Dennoch gibt es für lineare Gleichungen ein klares Bild, das sich an drei Prototypen orientiert: der Potentialgleichung \(-\Delta u = f\), der Wärmeleitungsgleichung \(u_t - \Delta u = f\) und der Wellengleichung \(u_{tt} - \Delta u = f\), die wir in der Vorlesung untersuchen werden.
Notwendig: Analysis III \ Nützlich: Funktionentheorie
Mathematische Vertiefung
Die Anforderungen an Studien- und Prüfungsleistungen sind in den aktuellen Ergänzungen der Modulhandbücher beschrieben.
Introduction to Theory and Numerics of Partial Differential Equations (Einführung in Theorie und Numerik Partieller Differentialgleichungen)
Dozent:in: Sören Bartels
Assistenz: Vera Jackisch
Sprache: auf Englisch
Vorlesung: Di, Do, 10-12 Uhr, SR 226, Hermann-Herder-Str. 10
Übung: 2-stündig, Termin wird noch festgelegt
Ziel dieses Kurses ist es, eine Einführung in die Theorie der linearen partiellen Differentialgleichungen und deren Finite-Differenzen- sowie Finite-Elemente-Approximationen. Finite-Elemente-Methoden zur Approximation partieller Differentialgleichungen haben einen hohen Reifegrad erreicht und sind ein unverzichtbares Werkzeug in Wissenschaft und Technik. Wir geben eine Einführung in die Konstruktion, Analyse und Implementierung von Finite-Elemente-Methoden für verschiedene Modellprobleme. Wir behandeln elementare Eigenschaften von linearen partiellen Differentialgleichungen zusammen mit deren grundlegender numerischer Approximation, dem funktionalanalytischen Ansatz für den strengen Nachweis der Existenz von Lösungen sowie die Konstruktion und Analyse grundlegender Finite-Elemente-Methoden.
Notwendig: Analysis~I und II, Lineare Algebra~I und II sowie höherdimensionale Integration (z.B. aus Analysis III oder aus Erweiterung der Analysis) \ Nützlich: Numerik für Differentialgleichungem, Funktionalanalysis
Mathematische Vertiefung
Die Anforderungen an Studien- und Prüfungsleistungen sind in den aktuellen Ergänzungen der Modulhandbücher beschrieben.
Dozent:in: David Criens
Assistenz: Eric Trébuchon
Sprache: auf Deutsch
Vorlesung: Di, Mi, 16-18 Uhr, HS II, Albertstr. 23b
Übung: 2-stündig, Termin wird noch festgelegt
Klausur 24.02., 14:00-16:00, HS II, Albertstr. 23b
Die Funktionentheorie beschäftigt sich mit Funktionen \(f : \mathbb C \to \mathbb C\) , die komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen abbilden. Viele Konzepte der Analysis~I lassen sich direkt auf diesen Fall übertragen, z.\,B. die Definition der Differenzierbarkeit. Man würde vielleicht erwarten, dass sich dadurch eine zur Analysis~I analoge Theorie entwickelt, doch viel mehr ist wahr: Man erhält eine in vielerlei Hinsicht elegantere und einfachere Theorie. Beispielsweise impliziert die komplexe Differenzierbarkeit auf einer offenen Menge, dass eine Funktion sogar unendlich oft differenzierbar ist, und dies stimmt weiter mit Analytizität überein. Für reelle Funktionen sind alle diese Begriffe unterschiedlich. Doch auch einige neue Ideen sind notwendig: Für reelle Zahlen \(a\), \(b\) integriert man für \[\int_a^b f(x) \mathrm dx\] über die Elemente des Intervalls \([a, b]\) bzw. \([b, a]\). Sind \(a\), \(b\) jedoch komplexe Zahlen, ist nicht mehr so klar, wie man ein solches Integral auf"|fassen soll. Man könnte z.\,B. in den komplexen Zahlen entlang der Strecke, die \(a, b \in \mathbb C\) verbindet, integrieren, oder aber entlang einer anderen Kurve, die von \(a\) nach \(b\) führt. Führt dies zu einem wohldefinierten Integralbegriff oder hängt ein solches Kurvenintegral von der Wahl der Kurve ab?
Notwendig: Analysis I+II, Lineare Algebra I
Mathematische Vertiefung
Die Anforderungen an Studien- und Prüfungsleistungen sind in den aktuellen Ergänzungen der Modulhandbücher beschrieben.
Set Theory – Independence Proofs (Mengenlehre – Unabhängigkeitsbeweise)
Dozent:in: Maxwell Levine
Assistenz: Hannes Jakob
Sprache: auf Englisch
Vorlesung: Di, Do, 12-14 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1
Übung: 2-stündig, Termin wird noch festgelegt
How does one prove that something cannot be proved? More precisely, how does one prove that a particular statement does not follow from a particular collection of axioms?
These questions are often asked with respect to the axioms most commonly used by mathematicians: the axioms of Zermelo-Fraenkel set theory, or ZFC for short. In this course, we will develop the conceptual tools needed to understand independence proofs with respect to ZFC. On the way we will develop the theory of ordinal and cardinal numbers, the basics of inner model theory, and the method of forcing. In particular, we will show that Cantor's continuum hypothesis, the statement that \(2^{\aleph_0}=\aleph_1\), is independent of ZFC.
Notwendig: Mathematische Logik
Mathematische Vertiefung
Die Anforderungen an Studien- und Prüfungsleistungen sind in den aktuellen Ergänzungen der Modulhandbücher beschrieben.
Dozent:in: Annette Huber-Klawitter, Amador Martín Pizarro
Assistenz: Christoph Brackenhofer
Sprache: auf Deutsch
Vorlesung: Di, Do, 10-12 Uhr, HS II, Albertstr. 23b
Übung: 2-stündig, Termin wird noch festgelegt
In der semi-algebraischen Geometrie geht es um Eigenschaften von Teilmengen von \(**R**^n\), die durch Ungleichungen der Form [ f(x1,\dots,xn)\geq 0] für Polynome \(f\in**R**[X_1,\dots,X_n]\) definiert werden.
Die Theorie hat sehr unterschiedliche Gesichter. Einerseits kann sie als eine Version von algebraischer Geometrie über \(\mathbf{R}\) (oder noch allgemeiner über sogenannten reell abgeschlossenen Körpern) gesehen werden. Andererseits sind die Eigenschaften dieser Körper ein zentrales Hilfsmittel für den modelltheoretischen Beweis des Satzes von Tarski-Seidenberg der Quantorenelimination in reell abgeschlossenen Körpern. Geometrisch wird dieser als Projektionssatz interpretiert.
Aus diesem Satz folgt leicht ein Beweis des Hilbert’schen 17. Problems, welches 1926 von Artin bewiesen wurde.
\textit{Ist jedes reelle Polynom \(P \in \mathbf{R}[x_1 ,\dots , x_n ]\), welches an jedem n-Tupel aus \(\mathbf{R}^n\) einen nicht-negativen Wert annnimmt, eine Summe von Quadraten rationaler Funktionen (d.h. Quotienten von Polynomen)?}
In der Vorlesung wollen wir beide Aspekte kennenlernen. Nötige Hilfsmittel aus der kommutativen Algebra oder Modelltheorie werden entsprechend den Vorkenntnissen der Hörer:innen besprochen.
Notwendig: Algebra und Zahlentheorie \ Nützlich: Kommutative Algebra und Einführung in die algebraische Geometrie, Modelltheorie
Mathematische Vertiefung
Die Anforderungen an Studien- und Prüfungsleistungen sind in den aktuellen Ergänzungen der Modulhandbücher beschrieben.