Studienabläufe in den Schwerpunktgebieten

Das Schwerpunktgebiet beschäftigt sich mit Zahlbereichen und ihren Verallgemeinerungen, insbesondere mit dem Ziel, Aussagen über die Lösbarkeit von Gleichungen zu gewinnen. Aufgrund der breit gefächerten Interessen des Schwerpunktgebiets sind vielfältige Studienverläufe möglich. Die konkrete Gestaltung des Studiums kann jederzeit mit einem der Dozenten des Schwerpunktgebiets besprochen werden.

Der Studienschwerpunkt bietet – neben Proseminaren und Seminaren – die folgenden Vorlesungen an:

• Algebra und Zahlentheorie (im Wintersemester)
• Kommutative Algebra und Einführung in die algebraische Geometrie (im Sommersemester)
• verschiedene weiterführende Vorlesungen, z.B. Algebraische Zahlentheorie (alle zwei Jahre im Sommersemester), Darstellungstheorie , Algebraische Geometrie (unregelmäßig angeboten)

Hinzu kommen die auch zum Studienschwerpunkt Geometrie gehörenden Veranstaltungen:

• Funktionentheorie (Wintersemester), Topologie (alle zwei Jahre im Sommersemester), Differentialgeometrie (Wintersemester)
• Funktionentheorie II (z.B. Riemannsche Flächen, Modulformen), Algebraische Topologie , Differentialtopologie (unregelmäßig angeboten)

In der Regel bietet es sich an, die Veranstaltungen wie folgt zu durchlaufen:

Bachelor

• Algebra und Zahlentheorie
• Kommutative Algebra und Einführung in die algebraische Geometrie
• Seminar

Master

• vertiefte Vorlesung aus der Algebra (auch mehrere)
• Seminar(e)
• Es sollte neben der Vertiefung auch die Basis erweitert werden, z.B. durch Nachholen von Algebra und Zahlentheorie , Kommutative Algebra , Funktionentheorie , Topologie .

Die Vorlesung Kommutative Algebra kann auch ohne Algebra und Zahlentheorie gehört werden. Die vertieften Vorlesungen bauen in der Regel auf Algebrau und Zahlentheorie und/oder Kommutative Algebra auf. Ergänzende Kenntnisse können im angeleiteten Selbststudium ( Wissenschaftliches Arbeiten ) erworben werden.

Voraussetzungen

• für eine Bachelor-Arbeit: in der Regel zwei Veranstaltungen (Vorlesungen, Proseminar, Seminare) aus dem Bereich des Studienschwerpunktes.
• für eine Master-Arbeit: zusätzlich zwei bis drei Veranstaltungen aus dem Bereich des Studienschwerpunktes.

Thema dieses Schwerpunktgebietes ist das Studium auch mehrwertiger Funktionen und Lösungen von Differentialgleichungen. Eine Spezialisierung im Bereich der Analysis beinhaltet in der Regel die folgenden Veranstaltungen. Alternative Studienabläufe besprechen Sie am besten mit einem der Dozenten des Schwerpunktgebiets.

Bachelor:

• 3. Semester: Analysis III
• 4. Semester: Funktionalanalysis
• 5. und 6. Semester: ein bis zwei weiterführende Vorlesung aus der Analysis wie Einführung in Partielle Differentialgleichungen , Partielle Differentialgleichungen , Variationsrechnung (alle unregelmäßig angeboten)
• 6. Semester: Seminar und Bachelor-Arbeit

Master:

(bei Beginn im Wintersemester; sonst entsprechende Umstellungen)

• 7. und 8. Semester: vertiefte Vorlesungen aus der Analysis wie Geometrische Analysis , Geometrische Maßtheorie , Partielle Differentialgleichungen II (alle unregelmäßig angeboten)
• 8. und 9. Semester: jeweils ein Seminar
• 10. Semester: Master-Arbeit

Nützliche Ergänzungen im Bachelor- und Master-Studium sind die Vorlesungen Kurven und Flächen (alle zwei Jahre im Sommersemester), Differentialgeometrie und Funktionentheorie (beide Wintersemester).

In diesem Schwerpunktegebiet werden Verfahren zur systematischen, rechnerischen Lösung mathematischer Probleme entworfen. Eine Spezialisierung im Bereich der Angewandte Analysis / Numerik beinhaltet in der Regel die folgenden Veranstaltungen. Alternative Studienabläufe besprechen Sie am besten mit der Studienfachberatung der Abteilung für Angewandte Mathematik oder einem der Dozenten des Schwerpunktgebiets.

Bachelor

• 3. Semester: Analysis III , Numerik I
• 4. Semester: Funktionalanalysis , Numerik II , Numerik für Differentialgleichungen
• 5. Semester: Einführung in die Theorie und Numerik für partielle Differentialgleichungen
• 6. Semester: Seminar und Bachelor-Arbeit

Master:

(bei Beginn im Wintersemester; sonst entsprechende Umstellungen)

• 7. und 8. Semester: vertiefte Vorlesungen wie Theorie und Numerik für partielle Differentialgleichungen – ... , Nichtlineare Funktionalanalysis (alle unregelmäßig angeboten)
• 9. Semester: Spezialvorlesung oder Wissenschaftliches Arbeiten ; Seminar aus dem Schwerpunktgebiet
• 10. Semester: Master-Arbeit

Zu den numerisch orientierten Vorlesungen wird die Teilnahme an den dazu angebotenen Praktischen Übungen empfohlen. Den eher theoretisch interessierten Studierenden wird empfohlen, im 7.–9. Semester zusätzlich Vorlesungen zur Theorie partieller Differentialgleichungen zu hören.

Dieses Schwerpunktgebiet erforscht zum Beispiel Krümmungseigenschaften von Kurven und Flächen und ihrer höherdimensionalen Verallgemeinerungen. Eine Spezialisierung im Bereich Geometrie und Topologie beinhaltet in der Regel die folgenden Veranstaltungen. Alternative Studienabläufe besprechen Sie am besten mit einem der Dozenten des Schwerpunktgebiets.

Bachelor

• 4. Semester: Topologie oder Kurven und Flächen oder Funktionalanalysis
• 5. Semester: je nach Angebot Differentialgeometrie, Algebraische Topologie
• 6. Semester: Topologie oder Funktionalanalysis (falls nichts davon im 4. Semester gehört)
• 5./6. Semester: Seminar und Bachelor-Arbeit

Master:

(bei Beginn im Wintersemester; sonst entsprechende Umstellungen)

• 7.–9. Semester: ein bis zwei weiterführende Vorlesungen aus dem Schwerpunktgebiet, z.B. Differentialgeometrie II (in einer der verschiedenen Ausprägungen), Differentialtopologie , Algebraische Topologie (alle unregelmäßig angeboten).
  Alternativ zu einer Vorlesung: im 9. Semester Wissenschaftliches Arbeiten .
• 8.–9. Semester: ein oder zwei Seminare aus dem Schwerpunktgebiet
• 9.–10. Semester: Masterarbeit

Nützliche Ergänzungen im Bachelor- und Masterstudium sind je nach Interesse: Funktionentheorie (Wintersemester), Vorlesungen aus der Analysis, Vorlesungen zur Algebraischen Geometrie und zu Lie-Gruppen, Vorlesungen zur Mathematischen Physik.

In der Mathematischen Logik formuliert man unter anderem die axiomatischen Grundgesetze der Mathematik und untersucht die Beweisbarkeit mathematischer Aussagen. Eine Spezialisierung im Bereich der Mathematischen Logik beinhaltet in der Regel die folgenden Veranstaltungen. Alternative Studienabläufe besprechen Sie am besten mit der Studienfachberatung der Abteilung für Mathematische Logik oder einem der Dozenten des Schwerpunktgebiets.

Bachelor

• 4. Semester: Mathematische Logik
• 5. Semester: (je nach Angebot) Mengenlehre oder Modelltheorie
• 6. Semester: Seminar und Bachelor-Arbeit

Die Vorlesung Mathematische Logik, die regelmäßig im Sommersemester angeboten wird, ist die minimale Voraussetzung für eine Bachelor-Arbeit; wünschenswert ist dazu ein Seminar und/oder eine weitere Vorlesung aus dem Gebiet der Mathematischen Logik.

In der Regel wechseln sich die Vorlesungen Mengenlehre und Modelltheorie im Wintersemester ab; manchmal werden auch beide gehalten. Im Sommersemester gibt es manchmal Fortsetzungsvorlesungen.

Master:

(bei Beginn im Wintersemester; sonst entsprechende Umstellungen)

• 7. und 8. Semester:
  Falls noch nicht im Bachelor gehört: Mengenlehre und/oder Modelltheorie und – sofern angeboten – weiterführende Vorlesungen aus dem Bereich der Mathematischen Logik, sonst Lesekurse.
  Ergänzend: weiterführende Vorlesungen aus der Reinen Mathematik, z.B. Kommutative Algebra , Topologie , Algebraische Zahlentheorie
• 9. Semester: Wissenschaftliches Arbeiten (Lesekurs), Seminar aus dem Schwerpunktgebiet
• 10. Semester: Master-Arbeit

Nützliche Ergänzungen sind Anwendungen, zum Beispiel weiterführende Algebra, algebraische Geometrie, mengentheoretische Topologie.

In der Stochastik modelliert man zufällige Ereignisse und entwickelt Methoden zum optimalen Umgang mit Zufall oder mit großen Datenmengen. Eine Spezialisierung im Bereich Mathematische Stochastik und Finanzmathematik beinhaltet in der Regel die folgenden Veranstaltungen. Alternative Studienverläufe besprechen Sie am besten mit der Studienfachberatung der Abteilung für Mathematische Stochastik oder einem der Dozenten des Schwerpunktgebiets.

Bachelor:

• 3. Semester: Stochastik I , Analysis III
• 4. Semester: Wahrscheinlichkeitstheorie
  Sinnvolle Ergänzungen sind Stochastik II und die Praktische Übung Stochastik .
• 5. Semester: Wahrscheinlichkeitstheorie II (ehemals: Stochastische Prozesse ) oder Probabilistic Machine Learning
• 6. Semester: Seminar und Bachelor-Arbeit

Die in der Vorlesung Analysis III vermittelte Maßtheorie ist ab Wahrscheinlichkeitstheorie notwendige Voraussetzung für das Verständnis der weiterführenden Stochastik-Vorlesungen (außer Probabilistic Machine Learning). In der Regel wird die Maßtheorie in der Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie kurz wiederholt.

Master:

(bei Beginn im Wintersemester; sonst entsprechende Umstellungen)

• 7. Semester: Falls angeboten: Mathematische Statistik, oder Wahrscheinlichkeitstheorie II, falls nicht schon im Bachelor gehört
• 8. Semester: Wahrscheinlichkeitstheorie III (ehemals: Stochastische Integration und Finanzmathematik bzw. Stochastische Analysis )
• 9. Semester: Wissenschaftliches Arbeiten (Lesekurs), Seminar aus dem Schwerpunktgebiet
• 10. Semester: Master-Arbeit

Die Mathematikdidaktik beschäftigt sich mit dem Lernen und Lehren von Mathematik. Erkenntnisse werden aus der Verbindung von empirischer Forschung, schulpraktischer Erfahrung und Theorie gewonnen. Die Studieninhalte der Mathematikdidaktik bereiten auf den Lehrberuf und auf die Forschung im Rahmen einer Masterarbeit vor. Die Mathematikdidaktik hat mehrere Bezugsdisziplinen, u.a. die Bildungswissenschaften und besonders die Mathematik selbst. Deswegen wird die Einführung in die Mathematikdidaktik idealerweise für das 5. Semester, frühestens ab dem 3. Semester, empfohlen.

Zwei-Hauptfach-Bachelor:

• Einführung in die Mathematikdidaktik

Master of Education:

• Didaktik der Funktionen und Analysis
  
• Didaktik der Algebra und Stochastik
  
• Wer keine Masterarbeit in Mathematikdidaktik schreiben möchte, besucht das Seminar zur Fachdidaktischen Entwicklung (wechselnde Themen je nach DozentIn).
  
• Wer seine Masterarbeit in Mathematikdidaktik schreiben möchte, besucht vorher die Veranstaltungen zur Fachdidaktischen Forschung an der PH Freiburg. (Achtung: Frühzeitig planen, da auch noch das Praxissemester zu absolvieren ist).
  

NEU: Vernetzung zwischen Fachwissenschaft und Fachdidaktik: Als Mathematische Ergänzung kann ab WS25 die Veranstaltung Schulmathematische Aspekte der Analysis und Linearen Algebra besucht werden (wird nur im Wintersemester angeboten).

Medizinische Statistik

Wer gute Kenntnisse in Wahrscheinlichkeitstheorie und Mathematischer Statistik mitbringt, kann das Seminar Medical Data Science belegen, das jedes Semester angeboten wird. Hier geht es um die aktuelle Methodenforschung zur Analyse und Modellierung von Daten aus der biomedizinischen Forschung, v.a. um Deep Learning- oder allgemeiner Machine Learning-Techniken, wie z.B. auch Large Language Models (LLMs). Dabei spielt die Verknüpfung von Methoden der Statistik mit Methoden der Informatik, inkl. der mathematischen Grundlagen, eine wesentliche Rolle.

Aufbauend auf diesem Seminar können Bachelor- und Master-Arbeiten vergeben werden.

Optimierung

Folgende Vorlesungen der Technischen Fakultät werden im Rahmen der Mathematik-Studiengänge angeboten:

• Numerical Optimization (SoSe): Es werden Optimierungsprobleme in Wissenschaft und Technik besprochen. Der Fokus liegt auf stetigen, nicht-linearen Optimierungsproblemen in endlich-dimensionalen Räumen, die entweder Konvex oder nicht-konvex sind.
• Numerical Optimal Control (WS): Der Schwerpunkt liegt sowohl auf zeitdiskreter als auch auf zeitkontinuierlicher optimaler Steuerung in kontinuierlichen Zustandsräumen.

Aufbauend auf diesen beiden Vorlesungen können Bachelor- und Master-Arbeiten vergeben werden.