Dozent:in: Sören Bartels
Assistenz: Tatjana Schreiber
Sprache: auf Englisch
Vorlesung: Mi, 10-12 Uhr, SR 226, Hermann-Herder-Str. 10
Übung: 2-stündig, Termin wird noch festgelegt
The lecture addresses algorithmic aspects in the practical realization of mathematical methods in big data analytics and machine learning. The first part will be devoted to the development of recommendation systems, clustering methods and sparse recovery techniques. The architecture and approximation properties as well as the training of neural networks are the subject of the second part. Convergence results for accelerated gradient descent methods for nonsmooth problems will be analyzed in the third part of the course. The lecture is accompanied by weekly tutorials which will involve both, practical and theoretical exercises.
Numerik I, II oder Basics in Applied Mathematics
Mathematische Ergänzung
Dozent:in: Mikhail Tëmkin
Sprache: auf Englisch
Vorlesung: Mo, 14-16 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1
Übung: 2-stündig, Termin wird noch festgelegt
The notion of a manifold is fundamental importance. On one hand, it is a common ground for many branches of pure and applied mathematics, as well as mathematical physics. On the other hand, it itself is a lush source of elegant, unexpected and structural results. Next, algebraic topology is to mathematics what the periodic table is to chemistry: it offers order to what seems to be chaotic (more precisely, to topological spaces of which manifolds is an important example). Finally, differential topology studies smooth manifolds using topological tools. As it turns out, narrowing the scope to manifolds provides many new beautiful methods, structure and strong results, that are applicable elsewhere -- as we will see in the course. Necessary notions from algebraic topology will be covered in the beginning.
Mengentheoretische Topologie (z.B. aus der Topologie-Vorlesung vom Sommersemester 2024)
Mathematische Ergänzung
Dozent:in: Amador Martín Pizarro
Assistenz: Charlotte Bartnick
Sprache: auf Deutsch
Vorlesung: Mi, 14-16 Uhr, SR 125, Ernst-Zermelo-Str. 1
Übung: 2-stündig, Termin wird noch festgelegt
Gruppen, die keine nicht trivialen Normalteiler enthalten, heißen einfache Gruppen. Ähnlich wie Primzahlen für die natürlichen Zahlen bilden einfache Gruppen die Bausteine für endliche Gruppen. Man sieht leicht, dass abelsche endliche einfache Gruppen zyklisch sind. Nicht abelsche Beispiele sind alternierende Gruppen sowie die Gruppen vom Lie-Typ.
Die Klassifikation von endlichen einfachen Gruppen geht weit über den Rahmen dieses Kurses hinaus. Wir werden jedoch einige der wiederkehrenden Ideen der Klassifikation veranschaulichen und insbesondere das folgende Ergebnis von Brauer und Fowler beweisen:
Theorem: Sei G eine endliche Gruppe von gerader Ordnung derart, dass das Zentrum ungerade Ordnung besitzt. Dann gibt es ein Element \(g \neq 1_G\) mit \(|G| < |C_G (g)|^3\) .
Diesen Theorem hatte besonders großen Einfluss auf die Klassifikation endlicher einfacher Gruppe, da es suggeriert, dass diese durch Untersuchung der Zentralisatoren von Elementen von Ordnung 2 klassifiziert werden könnten.
Algebra und Zahlentheorie
Mathematische Ergänzung
Dozent:in: Ernst August v. Hammerstein
Assistenz: Sebastian Hahn
Sprache: auf Englisch
Vorlesung: Mo, 14-16 Uhr, HS II, Albertstr. 23b
Übung: Mi, 16-18 Uhr, SR 403, Ernst-Zermelo-Str. 1
Lévy-Prozesse sind das zeitstetige Analogon zu Irrfahrten (random walks) in diskreter Zeit, da sie definitionsgemäß ebenfalls unabhängige und stationäre Zuwächse besitzen. Sie bilden eine fundamentale Klasse stochastischer Prozesse, die vielfache Anwendungen in der Versicherungs- und Finanzmathematik, der Warteschlangentheorie und auch in der Physik und Telekommunikation gefunden haben. Auch die Brownsche Bewegung und der Poisson-Prozess, die vielleicht schon aus anderen Vorlesungen bekannt sind, gehören zu dieser Klasse. Trotz ihrer Reichhaltigkeit und Flexibilität sind Lévy-Prozesse üblicherweise sowohl analytisch wie auch numerisch sehr handhabbar, da ihre Verteilung durch ein einzelnes eindimensionales, unbegrenzt teilbares Wahrscheinlichkeitsmaß erzeugt wird.
Die Vorlesung beginnt mit einer Einführung in unbegrenzt teilbare Verteilungen und der Herleitung der berühmten Lévy-Khintchine-Formel. Danach wird erläutert, wie Lévy-Prozesse daraus entstehen und wie die Charakteristiken der Verteilungen die Pfadeigenschaften der zugehörigen Prozesse beeinflussen. Nach einem kurzen Blick auf die Methode der Subordination wird abschließend die Optionsbewertung in von Lévy-Prozessen getriebenen Finanzmarktmodellen diskutiert.
notwendig: Wahrscheinlichkeitstheorie I
nützlich: Wahrscheinlichkeitstheorie II (Stochastische Prozesse)
Mathematische Ergänzung
Dozent:in: Thorsten Schmidt
Assistenz: Simone Pavarana
Sprache: auf Englisch
Vorlesung: Mi, 12-14 Uhr, HS II, Albertstr. 23b
Übung: 2-stündig, Termin wird noch festgelegt
In this lecture we will study new and highly efficient tools from machine learning which are applied to stochastic problems. This includes neural SDEs as a generalisation of stochastic differential equations relying on neural networks, transformers as a versatile tool not only for languages but also for time series, transformers and GANs as generator of time series and a variety of applications in Finance and insurance such as (robust) deep hedging, signature methods and the application of reinforcement learning.
Wahrscheinlichkeitstheorie. Für einige Teile wird zudem ein gutes Verständnis stochastischer Prozesse gebraucht. In der Vorlesung wird dazu eine (sehr) kurze Einführung gegeben, so dass es für schnell Lernende möglich ist, der Veranstaltung auch ohne die Vorlesung 'Stochastische Prozesse' zu folgen.
Mathematische Ergänzung
Dozent:in: Patrick Dondl
Assistenz: Eric Trébuchon
Sprache: auf Englisch
Vorlesung: Mi, 14-16 Uhr, SR 226, Hermann-Herder-Str. 10
Übung: 2-stündig, Termin wird noch festgelegt
This course provides a comprehensive introduction to mathematical modeling. We will learn the systematic process of translating real-world problems into mathematical frameworks, analyzing them using appropriate mathematical tools, and interpreting the results in practical contexts. The course covers both discrete and continuous modeling approaches, with emphasis on differential equations, variational problems, and optimization techniques. Through case studies in physics, biology, engineering, and economics, students will develop skills in model formulation, validation, and refinement. Special attention is given to dimensional analysis, stability theory, and numerical methods necessary for implementing solutions with a focus on numerical methods for ordinary differential equations. The course combines theoretical foundations with hands-on experience in computational tools for model simulation and analysis.
Analysis I, II, Lineare Algebra I, II, Numerik I, II
Mathematische Ergänzung
Numerical Optimization
Dozent:in: Moritz Diehl
Assistenz: Léo Simpson
Sprache: auf Englisch
Übung / flipped classroom: Di, 14-16 Uhr, HS II, Albertstr. 23b
Klausur 20.08., 10:00-12:00
The aim of the course is to give an introduction into numerical methods for the solution of optimization problems in science and engineering. The focus is on continuous nonlinear optimization in finite dimensions, covering both convex and nonconvex problems. The course divided into four major parts:
The course is organized as inverted classroom based on lecture recordings and a lecture manuscript, with weekly alternating Q&A sessions and exercise sessions. The lecture is accompanied by intensive computer exercises offered in Python (6 ECTS) and an optional project (3 ECTS). The project consists in the formulation and implementation of a self-chosen optimization problem or numerical solution method, resulting in documented computer code, a project report, and a public presentation. Please check the website for further information.
notwendig: Analysis I–II, Lineare Algebra I–II
nützlich: Einführung in die Numerik
Mathematische Ergänzung
Einführung in die Programmierung für Studierende der Naturwissenschaften
Dozent:in: Ludwig Striet
Sprache: auf Deutsch
Vorlesung: Mo, 16-18 Uhr, HS Weismann-Haus, Albertstr. 21a
Übung: 2-stündig, verschiedene Termine
Die Veranstaltung bietet eine Einführung in die Programmierung mit theoretischen und praktischen Einheiten. Schwerpunkte der Veranstaltung sind
Die praktischen Inhalte werden in der Programmiersprache C++ sowie in MATLAB/GNU Octave erarbeitet. Die erworbenen Kenntnisse werden anhand von Übungen erprobt und vertieft.
keine
Mathematische Ergänzung
Praktische Übung Numerik
Dozent:in: Sören Bartels
Assistenz: Vera Jackisch
Sprache: auf Deutsch
In den begleitenden praktischen Übungen zur Vorlesung Numerik II werden die in der Vorlesung entwickelten und analysierten Algorithmen praktisch umgesetzt und experimentell getestet. Die Implementierung erfolgt in den Programmiersprachen Matlab, C++ und Python. Elementare Programmierkenntnisse werden dabei vorausgesetzt.
Siehe bei der Vorlesung Numerik II.
Zusätzlich elementare Programmierkenntnisse.
Mathematische Ergänzung
Praktische Übung Stochastik
Dozent:in: Sebastian Stroppel
Sprache: auf Deutsch
Mo, 14-16 Uhr, PC-Pool Raum 201, Hermann-Herder-Str. 10
Die praktische Übung richtet sich an Studierende, die die Vorlesungen Stochastik I und II bereits gehört haben bzw. den zweiten Teil in diesem Semester hören. Es werden computerbasierte Methoden diskutiert, die das Verständnis des Stoffes der Vorlesung vertiefen und weitere Anwendungsbeispiele aufzeigen sollen. Dazu wird die Programmiersprache python verwendet. Nach einer Einführung in python werden u. a. Verfahren der deskriptiven Statistik und graphischen Auswertung von Daten betrachtet, die numerische Erzeugung von Zufallszahlen erläutert sowie parametrische und nichtparametrische Tests und lineare Regressionsverfahren diskutiert. Vorkenntnisse in python und/oder Programmierkenntnisse werden dabei nicht vorausgesetzt.
Analysis I+II, Lineare Algebra I+II, Stochastik I+II (Stochastik II kann parallel gehört werden)
Mathematische Ergänzung
Dozent:in: Carola Heinzel
Assistenz: Samuel Adeosun
Sprache: auf Englisch
Do, 14-16 Uhr, PC-Pool Raum -100, Hermann-Herder-Str. 10
This course introduces the foundational concepts and practical skills necessary for understanding and implementing machine learning models, with a particular focus on deep learning and neural networks. Students will progress from basic programming skills in Python , with a focus on the PyTorch library, to advanced topics such as training multi-layer perceptrons, optimization techniques, and transformer architectures. By the end of the course, participants will have the ability to implement and analyze neural networks, apply optimization strategies, and understand modern transformer-based models for tasks such as text generation and time series analysis.
Programmiergrundkenntnisse und Grundkenntnisse in Stochastik.
Mathematische Ergänzung
Dozent:in: Peter Pfaffelhuber
Assistenz: Sebastian Stroppel
Sprache: auf Englisch
Di, 12-14 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1
Lean4 is both, a programming language and an interactive theorem prover. By the latter, we mean software that is able to check mathematical proofs. It is interactive since the software tells you what remains to be proven after every line of code. The course is an introduction to this technique, with examples from various fields of mathematics. Lean4 is special since researchers all over the world are currently building a library of mathematical theories, which contains at the moment around 1.5 million lines of code. I aim to cover basics from calculus, algebra, topology and measure theory in Lean4.
Analysis I und II, Lineare Algebra I
Mathematische Ergänzung
Die Seminarplätze werden in der Regel am Ende der Vorlesungszeit des Wintersemesters vergeben. Im Kommentierten Vorlesungsverzeichnis wird für jedes Seminar beschrieben, ob und wie eine Voranmeldung erfolgen muss und wann die Vorbesprechung stattfindet.Sofern Sie einen Platz in einem Seminar erhalten haben, müssen Sie sich noch online zur Prüfung anmelden; der Anmeldezeitraum läuft voraussichtlich vom 1. März bis 14. April 2025.
Dozent:in: Diyora Salimova
Assistenz: Ilkhom Mukhammadiev
Sprache: Vortrag/Teilnahme auf Deutsch oder Englisch möglich
Seminar: Mo, 12-14 Uhr, online, -
Voranmeldung: per E-Mail an Diyora Salimova
Vorbesprechung 14.04., 15:00, über Zoom (bitte schreiben Sie der Dozentein, falls der Termin nicht passt)
Vortragsbesprechungen (Tutorium zum Seminar): Termine nach Vereinbarung
In recent years, deep learning have been successfully employed for a multitude of computational problems including object and face recognition, natural language processing, fraud detection, computational advertisement, and numerical approximations of differential equations. Such simulations indicate that neural networks seem to admit the fundamental power to efficiently approximate high-dimensional functions appearing in these applications.
The seminar will review some classical and recent mathematical results on approximation properties of deep learning. We will focus on mathematical proof techniques to obtain approximation estimates on various classes of data including, in particular, certain types of PDE solutions.
Grundlagen der Funktionalanalysis, der Numerik partieller Differentialgleichungen und der Wahrscheinlichkeitstheorie.
Mathematische Ergänzung
Dozent:in: Wolfgang Soergel
Assistenz: Damian Sercombe
Sprache: Vortrag/Teilnahme auf Deutsch oder Englisch möglich
Seminar: Do, 10-12 Uhr, SR 403, Ernst-Zermelo-Str. 1
Voranmeldung: Per E-Mail an Wolfgang Soergel
Vorbesprechung 28.01., 14:15, SR 127, Ernst-Zermelo-Str. 1
Vortragsbesprechungen (Tutorium zum Seminar): Termine nach Vereinbarung
Dieses Seminar soll in die Theorie der linearen algebraischen Gruppen einführen. Lineare algebraische Gruppen sind Verallgemeinerungen der aus der linearen Algebra bekannten Matrizengruppen.
Ich stelle mir ein Format vor, in dem ich oder Sercombe vortragen und dazwischen die Seminarteilnehmer eigene Vorträge halten. Das Seminar ist eine sinnvolle Ergänzung zur kommutativen Algebra, auf die auch je länger desto mehr Bezug genommen werden wird.
Algebra und Zahlentheorie (wobei die Details der Galoistheorie und Körpertheorie weniger relevant sind als die allgemeine Theorie der Gruppen und Ringe) und Lineare Algebra.
Mathematische Ergänzung
Dozent:in: Ernst Kuwert
Assistenz: Florian Johne
Seminar: Di, 14-16 Uhr, SR 125, Ernst-Zermelo-Str. 1
Vorbesprechung 04.02., 12:15, SR 218, Ernst-Zermelo-Str. 1
Vortragsbesprechungen (Tutorium zum Seminar): Termine nach Vereinbarung
Thema des Seminars ist der curve shortening flow. Danach bewegt sich eine geschlossene Kurve \(c\) im \({\mathbb R}^2\) nach dem Gesetz \[\frac{\partial c}{\partial t} = \varkappa \nu.\] Als Hauptergebnis wollen wir zeigen, dass eine eingebettete Kurve \(c\) nach endlicher Zeit auf einen Punkt kontrahiert und dabei asymptotisch rund wird (Satz von Grayson). Dies ist erstaunlich, da eingebettete Kurven in der Ebene sehr kompliziert sein können.
Als Techniken werden wir u.a. das Maximumprinzip, eine Monotonieformel, Krümmungsabschätzungen, Blow-up-Argumente kennenlernen. Der {\em curve shortening flow} ist ein einfacher Prototyp für Evolutionsgleichungen mit zentralen Anwendungen in der Geometrie.
Analysis I–III
Mathematische Ergänzung
Dozent:in: Nadine Große
Assistenz: Maximilian Stegemeyer
Sprache: Vortrag/Teilnahme auf Deutsch oder Englisch möglich
Seminar: Di, 12-14 Uhr, SR 226, Hermann-Herder-Str. 10
Vorbesprechung 04.02., 10:00, SR 318, Ernst-Zermelo-Str. 1
Vortragsbesprechungen (Tutorium zum Seminar): Termine nach Vereinbarung
Auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit \((M,g)\) kann durch Paralleltransport entlang einer Kurve eine Isometrie zwischen den Tangentialräumen an verschiedenen Punkten gefunden werden. Beschränkt man sich auf geschlossene Kurven, so erhält man eine Gruppe von linearen Isometrien des Tangentialraums eines Punktes. Diese Gruppe hängt bis auf Isomorphismus nur von der Riemannschen Metrik und der Mannigfaltigkeit – nicht aber vom gewählten Punkt – ab. Man bezeichnet diese Gruppe als die \textit{Holonomie-Gruppe} von \((M,g)\). Die Holonomie-Gruppe enthält wichtige Informationen über die Metrik und über zusätzliche geometrische Strukturen der Mannigfaltigkeit.
Im ersten Teil dieses Seminars wollen wir das Konzept der Holonomiegruppe verstehen. Dafür werden wir Zusammenhänge auf Hauptfaserbündeln benutzen und zunächst noch allgemeiner den Begriff der Holonomiegruppe eines Zusammenhangs auf einem Hauptfaserbündel betrachten.
Mit den erlernten Methoden über Zusammenhänge auf Hauptfaserbündeln lassen sich dann auch \textit{charakteristische Klassen} behandeln. Dies sind Kohomologieklassen in der de-Rham-Kohomologie einer Mannigfaltigkeit, die für ein gegebenes Vektorbündel über der Mannigfaltigkeit konstruiert werden können. Im letzten Teil des Seminars werden wir daher auch diese charakteristischen Klassen, ihre Konstruktion und deren Anwendungen kennen lernen.
Differentialgeometrie I
Mathematische Ergänzung
Dozent:in: Heike Mildenberger
Assistenz: Maxwell Levine
Sprache: Vortrag/Teilnahme auf Deutsch oder Englisch möglich
Seminar: Di, 16-18 Uhr, SR 403, Ernst-Zermelo-Str. 1
Vorbesprechung 29.01., 13:15, Raum 313, Ernst-Zermelo-Str. 1
Vortragsbesprechungen (Tutorium zum Seminar): Termine nach Vereinbarung
Das Auswahlaxiom gehört zu den akzeptierten unbeweisbaren Grundannahmen. Es sagt, dass jede Menge \(M\) nicht leerer Mengen eine Auswahlfunktion hat, das ist eine Funktion \(f : M \to \bigcup M\) mit der Eigenschaft \(\forall x \in M\), \(f(x) \in x\). Auf der Basis der anderen Axiome ZF von Zermelo und Fraenkel gibt es zahlreiche zum Auswahlaxiom äquivalente Aussagen, zum Beispiel die Wohlordenbarkeit jeder Menge und das Lemma von Zorn. Wir studieren in diesem Seminar Modelle der Axiome ZF, in denen das Auswahlaxiom explizit negiert wird. Am Anfang stehen Modelle zum Beweis des folgenden Satzen von Cohen aus dem Jahre 1963: Wenn ZF konsistent ist, so auch ZF und das Negat von AC. Ein Jahr später zeigte Solovay: Es gibt ZF-Modelle, in denen jede Teilmenge der reellen Zahlen Lebesgue-messbar ist, es also keine Vitali-Menge gibt. Zwanzig Jahre später fand man: Eine stark unerreichbare Kardinalzahl ist zur Konstruktion eines solchen Modells unerlässlich. Zahlreiche Fragen nach Abstufungen und besonderen Formen der Negation des Auswahlaxioms sind offen.
Mengenlehre
Mathematische Ergänzung
Dozent:in: Harald Binder
Sprache: Vortrag/Teilnahme auf Deutsch oder Englisch möglich
Zur Beantwortung komplexer biomedizinischer Fragestellungen aus großen Datenmengen ist oft ein breites Spektrum an Analysewerkzeugen notwendig, z.B. Deep-Learning- oder allgemeiner Machine-Learning-Techniken, was häufig unter dem Begriff "`Medical Data Science"' zusammengefasst wird. Statistische Ansätze spielen eine wesentliche Rolle als Basis dafür. Eine Auswahl von Ansätzen soll in den Seminarvorträgen vorgestellt werden, die sich an kürzlich erschienenen Originalarbeiten orientieren. Die genaue thematische Ausrichtung wird noch festgelegt.
Gute Kenntnisse in Wahrscheinlichkeitstheorie und Mathematischer Statistik.
Mathematische Ergänzung
Seminar: Numerik partieller Differentialgleichungen
Dozent:in: Sören Bartels
Assistenz: Vera Jackisch, Tatjana Schreiber
Sprache: Vortrag/Teilnahme auf Deutsch oder Englisch möglich
Seminar: Mo, 12-14 Uhr, SR 226, Hermann-Herder-Str. 10
Vorbesprechung 04.02., 12:00, Raum 209, Hermann-Herder-Str. 10, Bei Verhinderung bei der Vorbesprechung Anmeldung per E-Mail an Sören Bartels.
Im Seminar sollen weiterführende Themen der Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen behandelt werden. Dazu gehören die iterative Lösung der entstehenden linearen Gleichungssysteme mit Mehrgitter- und Gebietszerlegungsmethoden, die adaptive Verfeinerung von Finite-Elemente-Gittern, die Herleitung einer Approximationstheorie mit expliziten Konstanten sowie die Lösung nichtlinearer Probleme.
Einführung in Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen
Mathematische Ergänzung
Seminar über p-adische Geometrie
Dozent:in: Abhishek Oswal
Assistenz: Ben Snodgrass
Sprache: auf Englisch
Seminar: Mo, 10-12 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1
Vorbesprechung 13.02., 14:30, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1, Please email Abhisehk Oswal, and Ben Snodgrass if you are interested in the seminar but cannot make it to the preliminary meeting.
It has become clear over the last several decades that \(p\)-adic techniques play an indispensable role in arithmetic geometry. At an elementary level, \(p\)-adic numbers provide a compact and convenient language to talk about congruences between integers. Concretely, just as the field of real numbers \(\mathbb R\) arise as the completion of the field \(\mathbb Q\) of rational numbers with respect to the usual notion of distance on \(\mathbb Q\), the field \(\mathbb Q_p\) of \(p\)-adic numbers arise as the completion of \(\mathbb Q\) with respect to an equally natural \(p\)-adic metric. Roughly, in the \(p\)-adic metric, an integer \(n\) is closer to \(0\), the larger the power of the prime number \(p\) that divides it. A general philosophy in number theory is then to treat all these completions \(\mathbb R\), \(\mathbb Q_p\) of the field \(\mathbb Q\) on an equal footing. As we shall see in this course, familiar concepts from real analysis (i.e. notions like analytic functions, derivatives, measures, integrals, Fourier analysis, real and complex manifolds, Lie groups...), have completely parallel notions over the \(p\)-adic numbers.
While the Euclidean topology of \(\mathbb R^n\) is rather well-behaved (so one may talk meaningfully about paths, fundamental groups, analytic continuation, ...), the \(p\)-adic field \(\mathbb Q_p\) on the other hand is totally disconnected. This makes the task of developing a well-behaved notion of global \(p\)-adic analytic manifolds/spaces rather difficult. In the 1970s, John Tate’s introduction of the concept of rigid analytic spaces, solved these problemsand paved the way for several key future developments in \(p\)-adic geometry.
The broad goal of this course will be to introduce ourselves to this world of \(p\)-adic analysis and rigid analytic geometry (due to Tate). Along the way, we shall see a couple of surprising applications of this circle of ideas to geometry and arithmetic. Specifically, we plan to learn Dwork’s proof of the fact that the zeta function of an algebraic variety over a finite field is a rational function.
Field theory, Galois theory and Commutative algebra.
Some willingness to accept unfamiliar concepts as black boxes. Prior experience with algebraic number theory, or algebraic geometry will be beneficial but not necessary.
Mathematische Ergänzung
Seminar: Die Wiener-Chaos-Zerlegung und (nicht-)zentrale Grenzwertsätze
Dozent:in: Angelika Rohde
Assistenz: Gabriele Bellerino
Sprache: Vortrag/Teilnahme auf Deutsch oder Englisch möglich
Wohingegen lineare Transformationen von Gaußprozessen ihre gaußsche Eigenschaft bewahren, gilt dies für nichtlineare Funktionale, beispielsweise additive Funktionale der Form \[\int_0^T f(X_s) ds\qquad \text{ oder }\qquad \sum_{k=1}^n f(X_{k/n}),\] im Allgemeinen nicht. Die Wiener-Chaos-Zerlegung bietet einen Rahmen zur Analyse nichtlinearer Funktionale von Gaußprozessen. Es handelt sich hierbei um eine orthogonale Zerlegung des Raumes \[L^2(\mathbb{P}) = \bigoplus_{k=1}^\infty \mathcal{H}_k\] der bezüglich \(\mathbb{P}\) quadratintegrierbaren Zufallsvariablen, wobei \(\mathbb{P}\) ein gaußsches Wahrscheinlichkeitsmaß ist. Dieses Konzept verallgemeinert dabei die Eigenschaften orthogonaler Polynome bezüglich eines Wahrscheinlichkeitsmaßes auf der reellen Achse auf ein (potentiell) unendlichdimensionales Szenario. Es stellt sich heraus, dass Elemente eines Wiener-Chaos \(\mathcal{H}_k\) als mehrfache Wiener-Itô-Integrale dargestellt werden können, welche wiederum gut verstandene Objekte sind.
In diesem Seminar werden wir die grundlegenden Eigenschaften des Wiener-Chaos untersuchen, beginnend mit der Hermite-Polynombasis. Anschließend wenden wir uns fortgeschrittenen Themen wie Anwendungen im Malliavin-Kalkül zu, einem unendlichdimensionalen Differential-Kalkül auf gaußschen Wahrscheinlichkeitsräumen (stochastische Variationsrechnung). Des Weiteren werden zentrale und nichtzentrale Grenzwertsätze für nichtlineare Funktionale von gaußschen und nicht-gaußschen Prozessen sowie Invarianzprinzipien behandelt.
Notwendige Vorkenntnisse bestehen nur aus Kenntnissen der Wahrscheinlichkeitstheorie I.
Für einige Vorträge sind Vorkenntnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie II (Stochastische Prozesse) nützlich. Ihre individuellen Vorkenntnisse können bei der Vergabe der Themen jedoch selbstverständlich berücksichtigt werden.
Mathematische Ergänzung