Algebra und Zahlentheorie
Vorlesung: Di, Do, 10-12 Uhr, HS Weismann-Haus, Albertstr. 21a
Übung: 2-stündig, verschiedene Termine
Klausur: Datum wird noch bekanntgegeben
Dozent:in: Wolfgang Soergel
Assistenz: Damian Sercombe
Sprache: auf Deutsch
Diese Vorlesung setzt die Lineare Algebra fort. Behandelt werden Gruppen, Ringe, Körper sowie Anwendungen in der Zahlentheorie und Geometrie. Höhepunkte der Vorlesung sind die Klassifikation endlicher Körper, die Unmöglichkeit der Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal, die Nicht-Existenz von Lösungsformeln für allgemeine Gleichungen fünften Grades und das quadratische Reziprozitätsgesetz.
Notwendig: Lineare Algebra~I und II
Algebra und Zahlentheorie (2HfB21, MEH21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Einführung in die Algebra und Zahlentheorie (MEB21)
Algebra und Zahlentheorie (MEdual24)
Reine Mathematik (MSc14)
Wahlmodul (MSc14)
Elective (MScData24)
Algebraische Topologie
Vorlesung: Di, Do, 10-12 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1
Übung: 2-stündig, Termin wird noch festgelegt
noch unter Vorbehalt!
Dozent:in: Maximilian Stegemeyer
Sprache: auf Deutsch
Wahlmodul im Optionsbereich (2HfB21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Vertiefung (MEd18, MEH21)
Reine Mathematik (MSc14)
Mathematik (MSc14)
Vertiefungsmodul (MSc14)
Wahlmodul (MSc14)
Elective (MScData24)
Linear Algebraic Groups
Vorlesung: Mi, 14-16 Uhr, SR 125, Ernst-Zermelo-Str. 1
Dozent:in: Abhishek Oswal
Proseminar: Elementare Zahlentheorie
Seminar: Mi, 8-10 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1
Voranmeldung:
Vorbesprechung
Vortragsbesprechungen (Tutorium zum Seminar): Termine nach Vereinbarung
Dozent:in: Annette Huber-Klawitter
Assistenz: Christoph Brackenhofer
Proseminar (2HfB21, BSc21, MEH21, MEB21)
Seminar aus der Algebra
Seminar: Di, 14-16 Uhr, SR 127, Ernst-Zermelo-Str. 1
Dozent:in: Wolfgang Soergel
Assistenz: Damian Sercombe
Wahlmodul im Optionsbereich (2HfB21)
Mathematisches Seminar (BSc21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Ergänzung (MEd18)
Mathematisches Seminar (MSc14)
Wahlmodul (MSc14)
Elective (MScData24)
Vorlesung: Di, Do, 8-10 Uhr, HS II, Albertstr. 23b
Übung: 2-stündig, Termin wird noch festgelegt
Dozent:in: Wolfgang Soergel
Assistenz: Xier Ren
Sprache: auf Deutsch
In der linearen Algebra haben Sie lineare Gleichungssysteme studiert. In der kommutativen Algebra studieren wir polynomiale Gleichungssysteme wie \(x^2+y^2=1\) und ihre Lösungsmengen, die algebraischen Varietäten. Es wird sich herausstellen, dass so eine Varietät in enger Beziehung steht zum Ring der Einschränkungen von Polynomfunktionen auf besagte Varietät, und dass wir diese Beziehung extrapolieren können zu einem geometrischen Verständnis beliebiger kommutativer Ringe, nicht zuletzt des Rings der ganzen Zahlen. In diesem Begriffsgebäude wachsen die kommutative Algebra, die algebraische Geometrie und die Zahlentheorie zusammen. Die Vorlesung hat das Ziel, den Hörer in diese Begriffswelt einzuführen. Wir werden einen besonderen Schwerpunkt auf die Dimension algebraischer Varietäten und ihr Schnittverhalten legen, das die aus der linearen Algebra bekannten Phänomene auf den Fall polynomialer Gleichungssysteme verallgemeinert.
notwendig: Lineare Algebra I+II
nützlich: Algebra und Zahlentheorie
Wahlmodul im Optionsbereich (2HfB21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Reine Mathematik (MSc14)
Mathematik (MSc14)
Vertiefungsmodul (MSc14)
Wahlmodul (MSc14)
Elective (MScData24)
Vorlesung: Mi, 14-16 Uhr, SR 125, Ernst-Zermelo-Str. 1
Übung: 2-stündig, Termin wird noch festgelegt
Dozent:in: Amador Martín Pizarro
Assistenz: Charlotte Bartnick
Sprache: auf Deutsch
Gruppen, die keine nicht trivialen Normalteiler enthalten, heißen einfache Gruppen. Ähnlich wie Primzahlen für die natürlichen Zahlen bilden einfache Gruppen die Bausteine für endliche Gruppen. Man sieht leicht, dass abelsche endliche einfache Gruppen zyklisch sind. Nicht abelsche Beispiele sind alternierende Gruppen sowie die Gruppen vom Lie-Typ.
Die Klassifikation von endlichen einfachen Gruppen geht weit über den Rahmen dieses Kurses hinaus. Wir werden jedoch einige der wiederkehrenden Ideen der Klassifikation veranschaulichen und insbesondere das folgende Ergebnis von Brauer und Fowler beweisen:
Theorem: Sei G eine endliche Gruppe von gerader Ordnung derart, dass das Zentrum ungerade Ordnung besitzt. Dann gibt es ein Element \(g \neq 1_G\) mit \(|G| < |C_G (g)|^3\) .
Diesen Theorem hatte besonders großen Einfluss auf die Klassifikation endlicher einfacher Gruppe, da es suggeriert, dass diese durch Untersuchung der Zentralisatoren von Elementen von Ordnung 2 klassifiziert werden könnten.
Algebra und Zahlentheorie
Wahlmodul im Optionsbereich (2HfB21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Ergänzung (MEd18)
Reine Mathematik (MSc14)
Mathematik (MSc14)
Vertiefungsmodul (MSc14)
Wahlmodul (MSc14)
Elective (MScData24)
Seminar: Do, 14-16 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1
Voranmeldung: bis zum 30.01. an Vivien Vogelmann
Vorbesprechung 04.02., 12:00, SR 318, Ernst-Zermelo-Str. 1
Vortragsbesprechungen (Tutorium zum Seminar): Termine nach Vereinbarung
Dozent:in: Susanne Knies
Assistenz: Vivien Vogelmann
Sprache: auf Deutsch
In dem Proseminar geht es um Aussagen, die aus endlichdimensionalen Vektorräumen bekannt sind, im unendlichdimensionalen Fall aber nicht mehr gelten. Welche Konsequenzen ergeben sich daraus? Was gilt statt dessen? Mit welchen zusätzlichen Voraussetzungen kann man sich evtl. retten?
Für detailliertere Informationen siehe Webseite!
Analysis I, II und Lineare Algebra I, II
Proseminar (2HfB21, BSc21, MEH21, MEB21)
Proseminar: Verbandstheorie
Seminar: Mo, 14-16 Uhr, SR 127, Ernst-Zermelo-Str. 1
Voranmeldung: bis 31.01. an Markus Junker
Vorbesprechung 07.02., 11:15, SR 318, Ernst-Zermelo-Str. 1
Vortragsbesprechungen (Tutorium zum Seminar): Termine nach Vereinbarung
Dozent:in: Markus Junker
Sprache: auf Deutsch
Verbände sind ähnlich grundlegende mathematische Strukturen wie Ordnungen oder Gruppen. Ein Verband ist eine Menge mit zwei assoziativen und kommutativen Verknüpfungen \(\cap\) und \(\cup\), die die Absorptionsgesetze \(a \cap (a \cup b) = a\) und \(a \cup (a \cap b) = a\) erfüllen. Zum Beispiel bilden die Teilmengen einer festen Menge einen Verband; oder die Untervektorräume eines festen Vektorraums, wenn man für \(\cup\) den von der mengentheoretischen Vereinigung erzeugten Untervektorraum bildet. Verbände mit speziellen Zusatzeigenschaften sind beispielsweise Boole'sche Algebren,
Im Proseminar wollen wir uns einerseits anschauen, was man grundlegend über beliebige Verbände sagen kann, und dann einige Ergebnisse über speziellere Verbände.
Lineare Algebra I und II, Analysis I
Proseminar (2HfB21, BSc21, MEH21, MEB21)
Seminar: Do, 10-12 Uhr, SR 403, Ernst-Zermelo-Str. 1
Voranmeldung: Per E-Mail an Wolfgang Soergel
Vorbesprechung 28.01., 14:15, SR 127, Ernst-Zermelo-Str. 1
Vortragsbesprechungen (Tutorium zum Seminar): Termine nach Vereinbarung
Dozent:in: Wolfgang Soergel
Assistenz: Damian Sercombe
Sprache: Vortrag/Teilnahme auf Deutsch oder Englisch möglich
Dieses Seminar soll in die Theorie der linearen algebraischen Gruppen einführen. Lineare algebraische Gruppen sind Verallgemeinerungen der aus der linearen Algebra bekannten Matrizengruppen.
Ich stelle mir ein Format vor, in dem ich oder Sercombe vortragen und dazwischen die Seminarteilnehmer eigene Vorträge halten. Das Seminar ist eine sinnvolle Ergänzung zur kommutativen Algebra, auf die auch je länger desto mehr Bezug genommen werden wird.
Algebra und Zahlentheorie (wobei die Details der Galoistheorie und Körpertheorie weniger relevant sind als die allgemeine Theorie der Gruppen und Ringe) und Lineare Algebra.
Wahlmodul im Optionsbereich (2HfB21)
Mathematisches Seminar (BSc21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Ergänzung (MEd18)
Mathematisches Seminar (MSc14)
Wahlmodul (MSc14)
Elective (MScData24)
Seminar über p-adische Geometrie
Seminar: Mo, 10-12 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1
Vorbesprechung 13.02., 14:30, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1, Please email Abhisehk Oswal, and Ben Snodgrass if you are interested in the seminar but cannot make it to the preliminary meeting.
Dozent:in: Abhishek Oswal
Assistenz: Ben Snodgrass
Sprache: auf Englisch
It has become clear over the last several decades that \(p\)-adic techniques play an indispensable role in arithmetic geometry. At an elementary level, \(p\)-adic numbers provide a compact and convenient language to talk about congruences between integers. Concretely, just as the field of real numbers \(\mathbb R\) arise as the completion of the field \(\mathbb Q\) of rational numbers with respect to the usual notion of distance on \(\mathbb Q\), the field \(\mathbb Q_p\) of \(p\)-adic numbers arise as the completion of \(\mathbb Q\) with respect to an equally natural \(p\)-adic metric. Roughly, in the \(p\)-adic metric, an integer \(n\) is closer to \(0\), the larger the power of the prime number \(p\) that divides it. A general philosophy in number theory is then to treat all these completions \(\mathbb R\), \(\mathbb Q_p\) of the field \(\mathbb Q\) on an equal footing. As we shall see in this course, familiar concepts from real analysis (i.e. notions like analytic functions, derivatives, measures, integrals, Fourier analysis, real and complex manifolds, Lie groups...), have completely parallel notions over the \(p\)-adic numbers.
While the Euclidean topology of \(\mathbb R^n\) is rather well-behaved (so one may talk meaningfully about paths, fundamental groups, analytic continuation, ...), the \(p\)-adic field \(\mathbb Q_p\) on the other hand is totally disconnected. This makes the task of developing a well-behaved notion of global \(p\)-adic analytic manifolds/spaces rather difficult. In the 1970s, John Tate’s introduction of the concept of rigid analytic spaces, solved these problemsand paved the way for several key future developments in \(p\)-adic geometry.
The broad goal of this course will be to introduce ourselves to this world of \(p\)-adic analysis and rigid analytic geometry (due to Tate). Along the way, we shall see a couple of surprising applications of this circle of ideas to geometry and arithmetic. Specifically, we plan to learn Dwork’s proof of the fact that the zeta function of an algebraic variety over a finite field is a rational function.
Field theory, Galois theory and Commutative algebra.
Some willingness to accept unfamiliar concepts as black boxes. Prior experience with algebraic number theory, or algebraic geometry will be beneficial but not necessary.
Wahlmodul im Optionsbereich (2HfB21)
Mathematisches Seminar (BSc21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Ergänzung (MEd18)
Mathematisches Seminar (MSc14)
Wahlmodul (MSc14)
Elective (MScData24)
Vorlesung: Di, Do, 10-12 Uhr, HS Weismann-Haus, Albertstr. 21a
Übung: 2-stündig, verschiedene Termine
Klausur 25.02., 13:00-16:00, HS Rundbau, Albertstr. 21
Nachklausur 09.04., 09:00-12:00
Dozent:in: Wolfgang Soergel
Assistenz: Damian Sercombe
Sprache: auf Deutsch
Diese Vorlesung setzt die Lineare Algebra fort. Behandelt werden Gruppen, Ringe, Körper sowie Anwendungen in der Zahlentheorie und Geometrie. Höhepunkte der Vorlesung sind die Klassifikation endlicher Körper, die Unmöglichkeit der Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal, die Nicht-Existenz von Lösungsformeln für allgemeine Gleichungen fünften Grades und das quadratische Reziprozitätsgesetz.
Notwendig: Lineare Algebra~I und II
Algebra und Zahlentheorie (2HfB21, MEH21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Einführung in die Algebra und Zahlentheorie (MEB21)
Algebra und Zahlentheorie (MEdual24)
Reine Mathematik (MSc14)
Wahlmodul (MSc14)
Elective (MScData24)
Algebraic Number Theory (Algebraische Zahlentheorie)
Vorlesung: Di, Do, 12-14 Uhr, HS II, Albertstr. 23b
Übung: 2-stündig, Termin wird noch festgelegt
Dozent:in: Abhishek Oswal
Assistenz: Andreas Demleitner
Sprache: auf Englisch
Kurze Beschreibung der Themen: Zahlkörper, Primzahlzerlegung in Dedekind-Ringen, Idealklassengruppen, Einheitengruppen, Dirichlet'scher Einheitensatz, lokale Körper, Bewertungen, Zerlegungs- und Trägheitsgruppen, Einführung in die Klassenkörpertheorie.
Notwendig: Algebra und Zahlentheorie
Wahlmodul im Optionsbereich (2HfB21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Vertiefung (MEd18, MEH21)
Reine Mathematik (MSc14)
Mathematik (MSc14)
Vertiefungsmodul (MSc14)
Wahlmodul (MSc14)
Elective (MScData24)
Vorlesung: Di, Do, 10-12 Uhr, HS II, Albertstr. 23b
Übung: 2-stündig, Termin wird noch festgelegt
Dozent:in: Annette Huber-Klawitter, Amador Martín Pizarro
Assistenz: Christoph Brackenhofer
Sprache: auf Deutsch
In der semi-algebraischen Geometrie geht es um Eigenschaften von Teilmengen von \(**R**^n\), die durch Ungleichungen der Form [ f(x1,\dots,xn)\geq 0] für Polynome \(f\in**R**[X_1,\dots,X_n]\) definiert werden.
Die Theorie hat sehr unterschiedliche Gesichter. Einerseits kann sie als eine Version von algebraischer Geometrie über \(\mathbf{R}\) (oder noch allgemeiner über sogenannten reell abgeschlossenen Körpern) gesehen werden. Andererseits sind die Eigenschaften dieser Körper ein zentrales Hilfsmittel für den modelltheoretischen Beweis des Satzes von Tarski-Seidenberg der Quantorenelimination in reell abgeschlossenen Körpern. Geometrisch wird dieser als Projektionssatz interpretiert.
Aus diesem Satz folgt leicht ein Beweis des Hilbert’schen 17. Problems, welches 1926 von Artin bewiesen wurde.
\textit{Ist jedes reelle Polynom \(P \in \mathbf{R}[x_1 ,\dots , x_n ]\), welches an jedem n-Tupel aus \(\mathbf{R}^n\) einen nicht-negativen Wert annnimmt, eine Summe von Quadraten rationaler Funktionen (d.h. Quotienten von Polynomen)?}
In der Vorlesung wollen wir beide Aspekte kennenlernen. Nötige Hilfsmittel aus der kommutativen Algebra oder Modelltheorie werden entsprechend den Vorkenntnissen der Hörer:innen besprochen.
Notwendig: Algebra und Zahlentheorie \ Nützlich: Kommutative Algebra und Einführung in die algebraische Geometrie, Modelltheorie
Wahlmodul im Optionsbereich (2HfB21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Vertiefung (MEd18, MEH21)
Reine Mathematik (MSc14)
Mathematik (MSc14)
Vertiefungsmodul (MSc14)
Wahlmodul (MSc14)
Elective (MScData24)
Vorlesung: Do, 14-16 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1
Übung: Di, 8-10 Uhr, SR 127, Ernst-Zermelo-Str. 1
Dozent:in: Maximilian Stegemeyer
Sprache: auf Englisch
In der Geometrie und Topologie spielen Lie-Gruppen und Wirkungen von Lie-Gruppen eine zentrale Rolle. Mit ihnen lassen sich kontinuierliche Symmetrien beschreiben, eins der wichtigsten Konzepte der Mathematik und der Physik. Das Ausnutzen von Symmetrien, z.B. bei der Beschreibung homogener Räume erleichtert bei vielen konkreten Problemen die Lösung und gibt oft einen tieferen Einblick in die untersuchten Strukturen. Zudem ist die Geometrie und Topologie von Lie-Gruppen und homogenen Räumen selbst von großem Interesse.
In dieser Vorlesung werden wir zunächst die grundlegende Theorie von Lie-Gruppen und Lie-Algebren einführen, insbesondere mit Einblicken in die Strukturtheorie von Lie-Algebren. Im zweiten Teil werden wir dann homogene Räume betrachten mit einem besonderen Fokus auf Riemannsche symmetrische Räume. Letztere sind eine wichtige Beispielklasse Riemannscher Mannigfaltigkeiten. Ein besonderer Fokus wird neben den Lie-theoretischen Aspekten immer auch auf den homogenen Riemannschen Metriken der jeweiligen Räume liegen.
Notwendig: Differentialgeometrie~I
Wahlmodul im Optionsbereich (2HfB21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Reine Mathematik (MSc14)
Mathematik (MSc14)
Vertiefungsmodul (MSc14)
Wahlmodul (MSc14)
Elective (MScData24)
Seminar: Di, 14-16 Uhr, SR 127, Ernst-Zermelo-Str. 1
Voranmeldung: bis 14.07. per E-Mail an Wolfgang Soergel
Vortragsbesprechungen (Tutorium zum Seminar): Termine nach Vereinbarung
Die genaueren Modalitäten der Platzvergabe werden auf der Seite im Netz ausgeführt.
Dozent:in: Wolfgang Soergel
Assistenz: Damian Sercombe
Sprache: auf Deutsch
In diesem Proseminar sollen Themen besprochen werden, die ich aus verschiedenen Lehrbüchern und Skripten zu Grundvorlesungen in Linearer Algebra zusammensuche, die aber nicht zum Standardstoff gehören. Die Vorträge bauen dabei nur wenig aufeinander auf.
Lineare Algebra ~I und II, Analysis~I und II.
Proseminar (2HfB21, BSc21, MEH21, MEB21)
Seminar: Di, 14-16 Uhr, SR 125, Ernst-Zermelo-Str. 1
Vorbesprechung 16.07., SR 125, Ernst-Zermelo-Str. 1
Vortragsbesprechungen (Tutorium zum Seminar): Termine nach Vereinbarung
Dozent:in: Sebastian Goette
Assistenz: Mikhail Tëmkin
Sprache: Vorträge/Teilnahme auf Deutsch oder auf Englisch möglich
Wir besprechen fortgeschrittene Themen der algebraischen Topologie. Je nach Interesse der Teilnehmer könnten wir eines der folgenden Themen bearbeiten - wenn Sie andere Themenvroschläge haben, wenden Sie sich bitte an den Dozenten.
Algebraische Topologie~I und II
Wahlmodul im Optionsbereich (2HfB21)
Mathematisches Seminar (BSc21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Ergänzung (MEd18)
Mathematisches Seminar (MSc14)
Wahlmodul (MSc14)
Elective (MScData24)
Seminar: Fr, 8-10 Uhr, SR 404, Ernst-Zermelo-Str. 1
Voranmeldung: per E-Mail an Ludmilla Frei oder persönlich in Raum 421
Vorbesprechung 15.07., 11:00, SR 318, Ernst-Zermelo-Str. 1
Vortragsbesprechungen (Tutorium zum Seminar): Termine nach Vereinbarung
Dozent:in: Annette Huber-Klawitter
Assistenz: Xier Ren
Sprache: Vorträge/Teilnahme auf Deutsch oder auf Englisch möglich
In this seminar, we are going to study finite dimensional (unital, possibly non-commutative) algebras over a (commutative) field \(k\). Prototypes are the rings of square matrices over \(k\), finite field extensions, or the algebra \(k^n\) with diagonal multiplication.
We will concentrate on path algebras of finite quivers (German: Köcher). Modules over them are equivalently described as representations of the quiver. Many algebraic properties can be directly understood from properties of the quiver.
Notwendig: Lineare Algebra \ Nützlich: Algebra und Zahlentheorie, kommutative Algebra
Wahlmodul im Optionsbereich (2HfB21)
Mathematisches Seminar (BSc21)
Wahlpflichtmodul Mathematik (BSc21)
Mathematische Ergänzung (MEd18)
Mathematisches Seminar (MSc14)
Wahlmodul (MSc14)
Elective (MScData24)