4.2 Tropische Geometrie

Inhalt:

Der tropische Halbring _trop besteht aus den reellen Zahlen mit den Verknüpfungen

als Addition und Multiplikation. Es ist der Grenzfall t →∞ des Bildes des Halbrings (_>0, +,⋅) unter dem Logarithmus zur Basis t.

Tropische Geometrie ist Geometrie über _trop. Sie ist ein recht neues Gebiet mit Verbindungen vor allem zur algebraischen Geometrie und zur Kombinatorik. So haben viele klassische Sätze der algebraischen Geometrie tropische Entsprechungen, etwa der Satz von Bezout über die Anzahl der Schnittpunkte ebener Kurven, die Adjunktionsformel über den topologischen Typ oder die Gruppenstruktur elliptischer Kurven. Die Bilder zeigen eine tropische Gerade, eine tropische Quadrik und eine tropische Kubik.

Im Seminar werden wir Originalliteratur zu verschiedenen Aspekten der tropischen Geometrie studieren. Vorkenntnisse in algebraischer Geometrie sind nicht erforderlich, wenn auch bisweilen nützlich. Aus dem Seminar heraus können Themen für Staatsexams- und Diplomarbeiten vergeben werden.

Literatur:

1. A. Gathmann: Tropical algebraic geometry, http://arxiv.org/abs/math/0601322
2. B. Sturmfels: Combinatorical introduction to tropical geometry,
   http://math.berkeley.edu/~bernd/tropical/BMS.html