4.1 Einführung in die Homotopietheorie

Inhalt:

Homotopietheorie ist ein Teilgebiet der algebraischen Topologie; man benutzt also algebraische Methoden, um topologische Räume und stetige Abbildungen zu studieren. Umgekehrt löst man manche algebraischen Probleme mit topologischen Methoden.

In diesem Seminar wollen wir zunächst die Homotopiegruppen π_k(X,x) eines topologischen Raumes X mit x X definieren und elementare Eigenschaften zeigen. Die Gruppe π₁(X,x) heißt auch Fundamentalgruppe und wird beispielsweise in der Geometrie benutzt, um Überlagerungen von Mannigfaltigkeiten zu klassifizieren. Die höheren Homotopiegruppen π_k(X,x) für k ≥ 2 sind stets abelsch; sie finden zum Beispiel in der Variationsrechnung Anwendung.

Zellkomplexe oder CW-Komplexe sind eine wichtige Klasse topologischer Räume, die unter anderem alle topologischen Mannigfaltigkeiten umfasst. Wir benutzen Homotopiegruppen, um CW-Komplexe bis auf Homotopieäquivalenz zu klassifizieren, und um beliebige topologische Räume durch CW-Komplexe mit ähnlichen Eigenschaften zu approximieren.

Höhere Homotopiegruppen sind oft schwierig zu berechnen. Wir lernen verschiedene Techniken kennen, um π_k(X,x) für kleine k explizit anzugeben. Unter anderem bestimmen wir π_k(Sⁿ,x) für alle k ≤ n und beweisen damit zum Beispiel den Brouwerschen Fixpunktsatz, den Satz vom Igel, und die Invarianz der Dimension.

Literatur:

1. A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002
   http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html