Alumni-Preis 2012

Holger Biehler

[Bild Holger Biehler] Herr Holger Biehler erhält den Alumni-Preis 2012 für seine Diplomarbeit Compact metric measure spaces and ∧-coalescents

In der Wahrscheinlichkeitstheorie bilden häufig metrische Strukturen die Grundlage weiterer Untersuchungen. Zum Beispiel erscheint in der Populationsgenetik, der statistischen Physik, etc. der Raum (maßerhaltender Isometrieklassen) metrischer Maßräume. Ausgestattet mit der sogenannten Gromov-schwachen Topologie bildet er mittels des Gromov-Prohorov Abstandes einen metrischen Raum. Aldous folgend konvergiert eine Folge metrischer Räume genau dann, wenn jeder zufällig gewählte endliche Teilraum konvergiert. In dieser Arbeit werden topologische Eigenschaften im Raum der kompakten metrischen Maßräume untersucht. Insbesondere wird eine Charakterisierung der relativen Kompaktheit bewiesen sowie hinreichende und notwendige Bedingungen an einen metrischen Maßraum gegeben, damit dieser (lokal) kompakt ist. Letzteres findet wiederrum Anwendung in der Untersuchung von zufälligen metrischen Maßräumen, welche im Kontext der Lambda-Koaleszenten auftreten. Lambda-Koaleszenten sind stochastische Prozesse, welche mit einer unendlichen Anzahl an Linien starten und sich durch mehrfache Verschmelzungen in einer austauschbaren Umgebung entwickeln. Es wird gezeigt, dass der daraus resultierende Lambda-Koaleszent Maßraum genau dann kompakt ist, wenn der Lambda-Koaleszent von unendlich herunterkommt, d.h. zu jeder positiven Zeit nur noch aus endlich vielen Linien besteht. Wenn der Lambda-Koaleszent unendlich bleibt, dann ist der Lambda-Koaleszent Maßraum aber nicht einmal mehr lokal kompakt.

Annika Maier

[Bild Annika Maier] Frau Annika Maier erhält den Alumni-Preis 2012 für ihre Diplomarbeit Vereinfachung und numerische Berechnung von Wiener-Hopf-Faktoren

Die derzeit in der Praxis am häufigsten benutzten stochastischen Modelle zur Beschreibung von Wertpapierkursen oder Preisänderungen verwenden als treibenden Prozess eine Brownsche Bewegung. Dieser Ansatz weist jedoch große Mängel auf, da mit ihm insbesondere die Wahrscheinlichkeiten sehr großer Kursschwankungen extrem unterschätzt werden. Daher befasst man sich in der Finanzmathematik und speziell in der Arbeitsgruppe von Prof. Dr. Ernst Eberlein mit der Entwicklung neuer, realistischerer Modelle, bei denen anstelle der Brownschen Bewegung allgemeiner ein Lévy-Prozess als Treiber verwendet wird. Die hierdurch mögliche deutlich präzisere Erfassung des Marktgeschehens erfordert auf der anderen Seite jedoch auch einen gröÿeren analytischen und numerischen Aufwand zur Ableitung und Auswertung geschlossener Preisformeln für Derivate. Üblicherweise verwendet man hierzu Fourier-basierte Methoden, die jedoch die Kenntnis der charakteristischen Funktion des zugrundeliegenden Prozesses voraussetzen. Daher ist die Bewertung von exotischen Optionen in Lévy-Modellen im Gegensatz zu Europäischen Optionen ein weit komplexeres Problem, denn hierbei wird nicht nur der Aktienkurs zu einem festen Zeitpunkt benötigt, sondern das Supremum des Aktienkurses innerhalb eines vorgegebenen Zeitraums. Die charakteristische Funktion des Supremumsprozesses L ist jedoch im Allgemeinen nicht explizit bekannt, sondern kann lediglich mit Hilfe der sogenannten Wiener-Hopf-Faktoren durch ein Mehrfachintegral dargestellt werden. Für die Wiener-Hopf-Faktoren selbst existiert aber in der Regel nur eine Darstellung in Form eines Doppelintegrals. Da man die charakteristische Funktion von L erst durch Integration über die Wiener-Hopf-Faktoren erhält und über diese dann in der Optionspreisformel nochmals integriert wird, führte die Bewertung exotischer Optionen in Lévy-Modellen bislang auf ein Vierfachintegral, das sich numerisch nicht mehr in akzeptabler Zeit berechnen lässt. Unter geringfügigen zusätzlichen Annahmen an den LévyProzess kann das Doppelintegral zur Berechnung der Wiener-Hopf-Faktoren jedoch in ein einfaches Integral übergeführt werden. Symmetrieeigenschaften der Wiener-Hopf-Faktoren erlauben eine zusätzliche signifikante Reduktion der Berechnungszeiten. Auf diesem Wege läßt sich zum Beispiel die Bewertungsformel für einen Fixed Strike Lookback Call vereinfachen. Dadurch wird es möglich, den Preis eines solchen Calls und - nach Übertragung der Ergebnisse - auch anderer exotischer Optionen numerisch stabil und mit akzeptablem Zeitaufwand zu berechnen.

Hannes Eberlein

[Bild Hannes Eberlein] Herr Hannes Eberlein erhält den Alumni-Preis 2012 für seine Diplomarbeit Existenz schwacher Lösungen für instationäre Herschel-Bulkley Fluide unter Verwendung der Lipschitz-Truncation Methode

Herschel-Bulkley Fluide haben die Eigenschaft, dass sie einer gewissen Schubspannung standhalten können, bevor sie anfangen zu fließen. Ist diese Schubspannung überwunden, verhalten sie sich wie ein nicht-newtonsches Fluid, das heißt gemäß einem nichtlinearen Materialgesetz. Solch ein Verhalten kennt man zum Beispiel von Ketchup, der erst durch das Schütteln der Flasche anfängt zu fließen. In dieser Arbeit wurde als Materialgesetz das eines p-Fluides angenommen, welches insbesondere die „power-law“- bzw. „Carreau“-Modelle einschließt. Beschrieben wird das Verhalten des Herschel-Bulkley Fluides mit den instationären Navier-Stokes-Gleichungen, wobei die Abhängigkeit von der Schubspannung über die Forderung einer speziellen Struktur des Spannungstensors realisiert wird. Um die Existenz einer schwachen Lösung zu zeigen, wurde im Rahmen dieser Arbeit eine Folge von scherratenabhängigen Fluiden konstruiert, die das Herschel-Bulkley Fluid passend approximieren. Für diese Folge liefern bereits bekannte Resultate die Existenz einer schwachen Lösung. Um von den approximativen Lösungen den Grenzübergang zu einer schwachen Lösung des eigentlichen Problems vollziehen zu können, spielt die fast-überall Konvergenz des (symmetrischen) Geschwindigkeitsgradienten eine entscheidende Rolle. Um diese zu erhalten, wurden Techniken wie die lokale Rekonstruktion des Druckes und die instationäre Lipschitz-Truncation eingesetzt.