7.6 Differentialtopologie

Inhalt:
Die Differentialtopologie beschäftigt sich mit Mannigfaltigkeiten, und zwar mit Eigenschaften von Mannigfaltigkeiten, die von der Wahl einer Metrik unabhängig sind. Die Vorlesung gibt daher zunächst eine Einführung zu Grundbegriffen aus der Differentialgeometrie wie zu differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, Tangentialräumen, Vektorfeldern auf Mannigfaltigkeiten und deren Flüssen. Weiter werden Transversalitätseigenschaften untersucht und das fundamentale Theorem von Whitney bewiesen, demzufolge sich jede differenzierbare Mannigfaltigkeit M in einen reellen Euklidischen Standardvektorraum einbetten lässt, wenn dessen Dimension nur genügend groß, nämlich mehr als doppelt so groß ist wie die von M.

In einem zweiten Teil der Vorlesung werden klassische Themen aus der Differentialtopologie behandelt, zum Beispiel das Theorem von Poincaré-Hopf, das Nullstellen und Polstellen von Vektorfeldern auf Mannigfaltigkeiten zählt, der Satz von Stokes auf Mannigfaltigkeiten und das Gauß-Bonnet Theorem. Grundlegend ist hier der Umgang mit Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten, die ebenfalls in der Vorlesung eingeführt werden.

Falls die Zeit es erlaubt, werden außerdem Grundlagen der de-Rham-Kohomologie, der Morse-Theorie und charakteristische Klassen behandelt.

Literatur:

1.)

Th. Bröcker, K. Jänich, Introduction to differential topology, Cambridge University Press, 1982

2.)

M.P. do Carmo, Differential Forms and Applications, Springer-Verlag, 1994

3.)

V. Guillemin, A. Pollack, Differential Topology, Prentice-Hall Inc. 1974

4.)

J.M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, Springer-Verlag, 2003

5.)

J. Milnor, Morse theory, Princeton University Press, 1963

6.)

J. Milnor, Topology from the differentiable viewpoint, The University Press of Virginia, 1965