7.18 Stetige Funktionen, Dualität und Optimierung

Inhalt:
Die Vorlesung behandelt wichtige mathematische Themen in ihrem Zusammenhang. Diese sind:
∙ Optimalsteuerungsprobleme und ein allgemeines Lösungskonzept dieser.
∙ Topologische Räume und Räume stetiger Funktionen.
∙ Lineare Funktionale und Dualität.
∙ Ideale von Funktionen und Extremalpunkte konvexer Mengen.
∙ Endlich additive Mengenfunktionen. (Maße ohne σ-Additivität.)

Motiviert durch sehr einfache Probleme der optimalen Steuerung (eindimensional), welche weder eine Funktion noch eine verallgemeinerte Funktion im Sinne der Distributionentheorie (Laurent Schwarz) als Lösung besitzen, untersuchen wir relaxierte Lösungen von Optimalsteuerungsproblemen. Diese Lösungen sind lineare Funktionale auf Räumen von (stetigen) Funktionen und lassen sich als endlich additive Mengenfunktionen (Maße ohne die Eigenschaft der σ-Additivität) auffassen. Um ein wirkliches Verständnis dieser Lösungen zu erhalten beschäftigen wir uns eingehend mit Räumen stetiger Funktionen auf allgemeinen topologischen Räumen. Wir untersuchen insbesondere die Korrespondenz zwischen den topologischen Eigenschaften eines Raumes und algebraischen Eigenschaften des Raumes seiner stetigen Funktionen. Kompaktheit erweist sich hierbei als wesentliche topologische Eigenschaft. Schließlich behandeln wir noch die Approximierbarkeit von relaxierten Lösungen.

Die Vorlesung eignet sich als: 

∙ Einführung in Optimalsteuerungsprobleme,
∙ Einführung in die allgemeine Topologie und Funktionalanalysis, aber auch als:
∙ Weiterführende Vorlesung in Topologie, Funktionalanalysis und Optimierung, da der
Stoff weitgehend komplementär zu anderen Vorlesungen ist.

Literatur:

1.)

Barvinok: A course in convexity, Graduate Studies in Mathematics, Volume 54

2.)

Kelley, Namioka et al.: Topological vector spaces, Lecture Notes in Mathematics, Volume 36

3.)

Gillman, Jerison: Rings of continuous functions. The University Series in Higher Mathematics (1960).