7.13 Stochastische Prozesse

Inhalt:
Die Vorlesung ist die erste Veranstaltung im Studiengang Master of Science Mathematik, Studienschwerpunkt Wahrscheinlichkeitstheorie, Finanzmathematik und Statistik. Sie schließt direkt an die Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie aus dem WS2010/11 an.

Ein stochastischer Prozess (X_t)_t∈I ist nichts weiter als eine Familie von Zufallsvariablen, wobei etwa I = [0; ∞) eine kontinuierliche Zeitmenge ist. Einfache Beispiele sind Irrfahrten, allgemeinere Markov-Ketten, die Brown’sche Bewegung oder davon abgeleitete Prozesse. Letztere spielen vor allem in der Modellierung von finanzmathematischen oder naturwissenschaftlichen Fragestellungen eine große Rolle.

Wir werden uns zunächst mit der reichhaltigen Klasse von Martingalen beschäftigen und die wichtigen Martingalkonvergenzsätze kennen lernen. Anschließend konstruieren wir die Brown’sche Bewegung und studieren ihre Pfadeigenschaften. Infinitesimale Charakteristiken eines stochastischen Prozessen werden durch Generatoren beschrieben, was eine Verbindung zur Theorie von partiellen Differentialgleichungen ermöglicht. Abschließend wird das stochastische Integral eingeführt und die für die Finanzmathematik wichtige Black-Scholes-Formel hergeleitet.

Literatur:

1.)

O. Kallenberg. Foundations of Modern Probability (Probability and Its Applications). Springer 2002

2.)

A. Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer 2006

3.)

D. Williams. Probability with Martingales (Cambridge Mathematical Textbooks). Cambridge University Press 1991