7.12 Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen, Teil I

Inhalt:
Viele Phänomene in der Natur lassen sich durch mathematische Modelle, insbesondere durch partielle Differentialgleichungen, beschreiben. Die wichtigsten sind die elliptischen, die parabolischen und die hyperbolischen Differentialgleichungen. Gesucht werden jeweils Funktionen mehrerer Veränderlicher, deren Ableitungen gewisse Gleichungen erfüllen. Nachdem im WS 2010/11 die Theorie und Numerik für elliptische Differentialgleichungen in einer Einführungsvorlesung behandelt worden ist, sollen nun die parabolischen und hyperbolischen Differentialgleichungen betrachtet werden.

Im ersten Teil der Vorlesung werden parabolische partielle Differentialgleichungen behandelt. Dazu gehört als wichtigstes Beispiel die lineare Wärmeleitungsgleichung. Wir werden die räumliche und zeitliche Diskretisierung behandeln und gleichzeitig die Theorie entwickeln. Auërdem werden wir die lineare Wellengleichung kennen lernen.

Eine besondere Klasse von partiellen Differentialgleichungen bilden die hyperbolischen Erhaltungssätze. Trotz beliebig glatter Daten, damit sind Randwerte, Anfangswerte und die Koeffizienten gemeint, können die zugehörigen Lösungen unstetig sein. Daher ist ihre Behandlung eine besondere Herausforderung an die Analysis und die Numerik.

Parallel zur Vorlesung werden 2-stündige Übungen angeboten. Programmieraufgaben werden hiervon getrennt in einem speziellen Praktikum zur Vorlesung bearbeitet (Praktikum zu Theorie und Numerik partielle Differentialgleichungen, Teil I).

Literatur:

1.)

D. Braess, Finite Elemente, Springer, Berlin (2007)

2.)

G. Dziuk, Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen, De Gruyter (2010)

3.)

D. Kröner, Numerical schemes for conservation laws, Wiley und Teubner, Chichester, Stuttgart (1997)

4.)

R. J. LeVeque, Numerical methods for conservation laws, Birkhäuser Verlag, Basel (1992)

5.)

R. J. LeVeque, Finite volume methods for hyperbolic problems, Cambridge Texts in Applied Mathematics (2002)