1.6 Differentialgeometrie I

Inhalt:
Die Differentialgeometrie, speziell die Riemannsche Geometrie, beschäftigt sich mit den geometrischen Eigenschaften gekrümmter Räume. Solche Räume treten auch in anderen Bereichen der Mathematik und Physik auf, beispielsweise in der geometrischen Analysis, der komplexen algebraischen Geometrie, der theoretischen Mechanik und der allgemeinen Relativitätstheorie.

Im ersten Teil der Vorlesung lernen wir Grundbegriffe der Differentialgeometrie (z. B. differenzierbare Mannigfaltigkeiten, Vektorbündel, Zusammenhänge und ihre Krümmung) und der Riemannschen Geometrie (Riemannscher Krümmungstensor, Geodätische, Jacobi-Felder etc.) kennen.

Im zweiten Teil betrachten wir das Zusammenspiel zwischen lokalen Eigenschaften Riemannscher Mannigfaltigkeiten wie der Krümmung und globalen topologischen und geometrischen Eigenschaften wie Kompaktheit, Fundamentalgruppe, Durchmesser, Volumenwachstum und Gestalt geodätischer Dreiecke.

Im Sommersemester 2010 ist eine Vorlesung Differentialgeometrie II mit Schwerpunkt Indextheorie geplant. Hier geht es um Beziehungen zwischen der Geometrie, der Topologie und der globalen Analysis auf Mannigfaltigkeiten.

Literatur:

1. J. Cheeger, D. G. Ebin, Comparison Theorems in Riemannian Geometry, North-Holland, Amsterdam 1975.
2. S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine, Riemannian Geometry, Springer, Berlin-Heidelberg-New York 1987.
3. D. Gromoll, W. Klingenberg, W. Meyer, Riemannsche Geometrie im Großen, Springer, Berlin-Heidelberg-New York 1975.