1.5 Numerik I

Inhalt:

Probleme aus Natur und Technik, z. B. in der Wettervorhersage, können näherungsweise durch mathematische Modelle beschrieben werden. Viele dieser Modelle bestehen aus Differentialgleichungen, für die man Existenz von Lösungen zeigen, diese aber nicht in geschlossener Form angeben kann. Sie können nur durch einen weiteren Näherungsprozess, die Diskretisierung, approximiert werden. Dazu werden Ableitungen durch Differenzenquotienten in endlich vielen Knoten (Gitter) approximiert. Man erhält so ein System von Differenzengleichungen, das im Fall einer linearen Differentialgleichung gerade ein lineares Gleichungssystem ist, wie man es auch schon in der linearen Algebra kennen gelernt hat. Ein Schwerpunkt der Vorlesung Numerik I wird sein, effiziente Verfahren (d. h. schnelle Verfahren) zur Lösung solcher lineraren Gleichungssysteme zu entwickeln und zu analysieren. Bei der Analyse stehen Fragen nach der Konvergenz, nach der Konvergenzgeschwindigkeit und nach dem Aufwand (Anzahl der Rechenoperationen in Abhängigkeit von der Dimension des linearen Gleichungssystems) im Vordergrund. Weitere Themen werden sein: Interpolation, Approximation, Nullstellenbestimmung von Funktionen numerischer Integration und Approximation. Einen ersten Überblick über die Vorlesung findet man in den unten angegebenen Büchern.

Literatur:

1. P. Deuflhard, A. Hohmann: Numerische Mathematik. De Gruyter 1991.
2. J. Stoer, R. Bulirsch: Einführung in die numerische Mathematik I, II. Springer.
3. G. Haemmerlin, K.-H. Hoffmann: Numerische Mathematik. Springer.