8.17 Numerik für Differentialgleichungen

Inhalt:
Die mathematischen Modelle für Wachstums-, Wärmeleitungs- oder Diffusionsprozesse bestehen aus Anfangswertproblemen oder Randwertproblemen für Differentialgleichungen. Im einfachsten Falle sind dies gewöhnliche Differentialgleichungen. Hierbei handelt es sich um Gleichungen, in denen sowohl die gesuchte Funktion als auch ihre Ableitungen vorkommen, im Allgemeinen in einem nichtlinearen Zusammenhang. Nur in den einfachsten Fällen können die Lösungen dieser Gleichungen explizit angegeben werden. Im Allgemeinen ist man daher auf die numerische Lösung mit Hilfe eines Computers angewiesen.

Wir werden in dieser Vorlesung zunächst die theoretischen Grundlagen für die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen behandeln. Im Anschluss daran und aufbauend auf den Ergebnissen aus der Vorlesung Numerik werden numerische Verfahren zur Lösung dieser Differentialgleichungen entwickelt und deren Konvergenz gegen die exakte Lösung analysiert.

Will man bei Wachstumsprozessen nicht nur die Gesamtpopulation untersuchen, sondern auch deren räumliche Fluktuation, ist man auf die Modellierung durch partielle Differentialgleichungen angewiesen. Dies gilt auch für die räumliche Ausbreitung etwa von akustischen Störungen oder die Wärmeleitung oder Diffusion in mehreren Raumdimensionen. Wir werden daher auch Verfahren zur Lösung von Anfangswertproblemen oder Randwertproblemen für partielle Differentialgleichungen behandeln.

Literatur:

1.)

J. Stoer, R. Bulirsch: Numerische Mathematik I, II. Springer 2007, 2005.

2.)

P. Deuflhard, A. Hohmann/F. Bornemann: Numerische Mathematik I, II. De Gruyter 2003, 2002.