1.13 Modelltheorie und algebraische Geometrie

Inhalt:

Die Vorlesung soll Hrushovskis Beweis der geometrischen Mordell-Lang Vermutung (1996) darstellen. Die Vorlesung soll gleichzeitig eine Einführung in die relevante Modelltheorie und Algebra sein.

Mordells Vermutung (Faltings 1983) besagt, daß über jedem Zahlkörper K jede glatte projektive Kurve von größerem Geschlecht als 1 nur endlich viele K–rationale Punkte hat. Die Mordell-Lang-Vermutung (McQuillan 1995) ist eine weitgehende Verallgemeinerung: Sei A eine abelsche Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper K der Charakteristik 0, Γ eine endlich erzeugte Untergruppe von A und X eine Untervarietät von A. Dann ist der Abschluß von Γ ∩ X Vereinigung von endlich vielen Nebenklassen von abelschen Untervarietäten von A.

In Charakteristik p gilt nur die geometrische Mordell-Lang-Vermutung. Sie impliziert, daß die Behauptung der Mordell-Lang-Vermutung jedenfalls dann zutrifft, wenn, für einen algebraisch abgeschlossenen Unterkörper k von K, A keinen nicht–trivialen Homomorphismus in eine über k definierte abelsche Varietät hat.

Literatur:

1. Elisabeth Bouscaren Model theory and algebraic geometry: An Introduction to E. Hrushovski’s proof of the geometric Mordell-Lang conjecture. Springer LNM1696 (1998)
2. Anand Pillay Model theory and Diophantine Geometry. Bulletin der AMS 34 (1997)