4.9 Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen II

Inhalt:

In diesem Seminar werden wir neue Forschungsarbeiten besprechen, die sich mit der Komplexitätsreduktion numerischer Verfahren zur Lösung von konvektionsdominanten Gleichungen und Erhaltungsgleichungen (z. B. Flachwassergleichungen) beschäftigen. Diese kann durch lokale Gitteradaption, durch „reduzierte Basen“ Methoden und durch Modelladaption erreicht werden. Zur lokalen Gitteradaption verwendet man üblicherweise so genannte a posteriori Fehlerschätzer. Dies ist eine Methode, um mit Hilfe der berechneten numerischen Lösung Informationen über den Diskretisierungsfehler zu erhalten und darauf aufbauend eine Strategie zur effektiven Gitterverfeinerung zu entwickeln. Hierzu werden wir insbesondere auch entsprechende Ansätze für die „Discontinuous Galerkin“ Verfahren betrachten. Ein weiterer Bereich betrifft die Methode der „Reduzierten Basen“. Hierbei werden die endlichdimensionalen Ansatzräume von Funktionen gebildet, die schon möglichst viel Informationen des zu lösenden Problems beinhalten. Standardmässig nimmt man hierzu spezielle numerische Lösungen zu geschickt gewählten Parametern des Problems. Ein drittes Verfahren zur Komplexitätsreduktion ergibt sich aus der Reduktion des jeweils zugrunde liegenden mathematischen Modells. In gewissen Situationen kann man z. B. die Modelle für die Strömung in der Erdatmosphähre durch vereinfachte Modelle auf der Erdoberfläche ersetzen. In diesem Fall sind dann Gleichungen auf einer gekrümmten Oberfläche zu lösen.

Literatur:

1. D. Kuzmin, et al.: A new a posteriori error estimate for convection-diffusion problems. To appear in: J. Comp. Appl. Math.
2. P. LeFloch, et al: Hyperbolic conservation laws on manifolds. Total variation estimates and the finite volume method. To appear in Methods and Applications of Analysis.
3. K. Kunisch, et al.: Control of the Burgers Equation by a Reduced-Order Approach Using Proper Orthogonal Decomposition. Journal of Optimization Theory and Applications: Vol. 102, No. 2, pp. 345-371, AUGUST 1999.