1.3 Mathematische Logik

Inhalt:

Die Vorlesung führt über das Studium der sog. Logik der ersten Stufe zu einer Diskussion von Grundlagenfragen. Ausgangspunkte sind Fragen wie: Was ist ein mathematischer Beweis? Wie lassen sich Beweise rechtfertigen? Kann man jeden wahren Satz beweisen? Kann man das Beweisen Computern übertragen?
Die wesentlichen Ergebnisse besagen: Man kann explizit einige einfache Regeln des Schließens angeben, die ausreichen, alle mathematisch beweisbaren Sätze zu beweisen (Gödelscher Vollständigkeitssatz). Nicht alle mathematischen Sachverhalten, die wahr sind, lassen sich beweisen; auch (nicht) die Widerspruchsfreiheit der Mathematik (Gödelsche Unvollständigkeitssätze). Man kann das Beweisen nicht Computern übertragen (Churchscher Unentscheidbarkeitssatz). Die Wahrheit arithmetischer Sätze läßt sich in der Arithmetik nicht definieren (Tarskischer Undefinierbarkeitssatz).
Die Vorlesung setzt keine spezifischen mathematischen Kenntnisse voraus. Sie fordert jedoch eine Vertrautheit mit der mathematischen Denkweise, wie man sie etwa im ersten Jahr des Mathematikstudiums erwirbt.

Literatur:

1. Ebbinghaus, Flum, Thomas: Einführung in die mathematische Logik, Spektrum Verlag
2. Enderton: A mathematical indtroduction to logic, Academic Press