Überlagerungen der komplexen Zahlen und die kanonische Basis Eigenschaft
Tuesday, 4.5.21, 14:30-15:30, Philidor
Baldwin und Lachlan zeigten, dass überabzählbar kategorische Theorien durch ihre streng minimalen Mengen bestimmt werden. Beispielsweise ist jede unendliche einfache überabzählbar kategorische Gruppe fast streng minimal, das heißt, algebraisch über einer streng minimalen Menge. Eine natürliche überabzählbar kategorische Konstruktion ist die sogenannte Überlagerung einer streng minimalen Menge. Sie ist im Allgemeinen nicht fast streng minimal, jedoch sind alle Fasern in definierbarer Bijektion mit der streng minimalen Menge, d.h. intern zu dieser. In diesem Vortrag werden wir Überlagerungen der komplexen Zahlen im Hinblick auf die kanonische Basis Eigenschaft (CBP) untersuchen. Die CBP, deren Ursprung in einer Arbeit von Pillay und Ziegler liegt, verallgemeinert den Begriff der Monobasiertheit, indem Algebraizität durch Internalität ersetzt wird. Sie gilt in zahlreichen algebraischen Strukturen und einige Zeit war nicht klar, ob sie in allen stabilen Theorien von endlichem Rang gilt, bis Hrushovski, Palacin und Pillay (2013) ein Gegenbeispiel veröffentlichten. Wir werden dieses Beispiel als additive Überlagerung der komplexen Zahlen präsentieren und eine genauere Untersuchung des Scheiterns der CBP wird unendlich viele neue Überlagerungen ohne die CBP liefern.\n\n
tba
Tuesday, 11.5.21, 14:30-15:30, Philidor
Combinatorial characterizations of Canjar filters
Tuesday, 11.5.21, 14:30-15:30, Philidor
An often important property of a forcing notion is whether or not it adds dominating reals, i.e. whether there exists a real in the generic extension of the forcing which eventually dominates all reals from the ground model.\nFamously Mathias forcing does add dominating reals. However, this might not be the case for the Mathias forcing associated with a nonprincipal filter F, MA(F), consisting of conditions in which the infinite set has to be in F. For example if F is the Frechet filter, MA(F) will not add dominating reals. This leads to the following question: For which filters F does MA(F) not add dominating reals? Filters for which this is the case are also called Canjar filters, named after a result by Michael Canjar in 1988.\nIn 2014 Hrusak and Minami showed that these filters share a purely combinatorial property. In this talk we will focus on this characterization and various equivalent properties of filters as well as a topological reformulation by Chodounsky, Repovs and Zdomskyy from 2015. \n \n
Forcing With Canjar Filters and With Generic Ultrafilters
Tuesday, 18.5.21, 14:30-15:30, BBB Philidor
In joint work with Christian Bräuninger we used relatives of Canjar filters in forcings with superperfect trees. It is open whether the same goals could be achieved with relatives of Mathias forcing as well. In this talk, I will focus on\nopen questions about ultrafilters, and the few proofs I plan to sketch are about topology and combinatorics. Technical\naspects of iterated forcing will be skipped.\n