On Talagrand's Solution to Maharam's Problem
Wednesday, 23.1.19, 16:30-17:30, Raum 404, Ernst-Zermelo-Str. 1
Abstract:\nEin Submaß \(\bnu\) auf einer Booleschen Algebra \(\bmathcal{B}\) heißt\nausschöpfend, wenn jede disjunkte Folge in \(\bmathcal{B}\) unter \(\bnu\) eine\nNullfolge ist. Zwei Submaße heißen äquivalent, falls sie dieselben\nNullfolgen haben. Eines der beiden Maharamprobleme ist die folgende Frage:\n\n Ist jedes auschöpfende Submaß äquivalent zu einem endlich additiven Maß?\n\n Dieses Problem geht auf eine Frage zurück, die John von Neumann 1937 im\n“Scottish Book” stellte, nämlich ob jede vollständige schwach\n\(\bomega\)-distributive Algebra mit höchstens abzählbaren Antiketten ein\npositives \(\bsigma\)-additives Wahrscheinlichkeitsmaß trägt.\n\n2008 gab Michel Talagrand eine negative Antwort auf das Problem von Maharam\nund damit auch auf von Neumanns Frage. In seinem Beweis konstruiert\nTalagrand zunächst ein pathologisches Submaß, also ein Submaß, das kein\nnichttriviales Maß dominiert.\n\nZiel dieses Vortrags ist, dieses Submaß zu betrachten und zu zeigen, dass\neine ähnliche Konstruktion auf der Cantoralgebra nicht pathologisch ist.
Nonstandard methods in Ramsey Theory.
Wednesday, 30.1.19, 16:30-17:30, Raum 404, Ernst-Zermelo-Str. 1
Abstract: I will present a new technique in nonstandard analysis\nthat has been recently applied in Ramsey Theory of numbers.\n\nTo illustrate the methods, I will present nonstandard proofs\nof fundamental results, such as Ramsey's Theorem and Hindman's Theorem.\nI will also present a couple of simple examples of new results\nabout partition regularity of Diophantine equations.\n\nIn the second part of the talk, I will briefly discuss the\n(discrete) topological dynamics as given by the\nhypernatural numbers of nonstandard analysis\nendowed with the shift operator, and present\na new proof of van der Waerden's Theorem: In any finite\ncoloring of the natural numbers there exist monochromatic\narithmetic progressions of arbitrary length.\n