Lehrveranstaltungen

Inhalt:
Die Vorlesung gibt eine Einführung in die mehrdimensionale Maß- und Integrationstheorie nach Lebesgue. Schwerpunkte sind allgemeine Maße und Integrale, Konvergenzsätze, Integration im ℝⁿ, Transformationssatz und Satz von Gauß, eventuell auch Integrale von Differentialformen. Die Vorlesung ist für das weitere Studium in Analysis, Angewandter Mathematik, Stochastik, Wahrscheinlichkeitstheorie und Geometrie relevant, auch in der Physik.

Literatur:

1.)

H. Amann, J. Escher: Analysis III (2. Auflage), Birkhäuser, 2008.

2.)

J. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie (8. Auflage), Springer Spektrum, 2018.

3.)

E. Kuwert: Vorlesungsskript Analysis III, verfügbar unter http://home.mathematik.uni-freiburg.de/analysis/Analysis3WS1617/WS1617.pdf.

Inhalt:
Diese Vorlesung setzt die Lineare Algebra fort. Behandelt werden Gruppen, Ringe, Körper sowie Anwendungen in der Zahlentheorie und Geometrie. Höhepunkte der Vorlesung sind die Klassifikation endlicher Körper, die Unmöglichkeit der Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal, die Nicht-Existenz von Lösungsformeln für allgemeine Gleichungen fünften Grades und das quadratische Reziprozitätsgesetz.

Literatur:

1.)

M. Artin: Algebra, Birkhäuser, 1998.

2.)

S. Bosch: Algebra (9. Auflage), Springer Spektrum, 2020.

3.)

S. Lang: Algebra (3. Auflage), Springer, 2002.

4.)

W. Soergel: Vorlesungsskript Algebra und Zahlentheorie, verfügbar unter
http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/XXAL.pdf.

Inhalt:
Algebraische Gruppen sind Verallgemeinerungen der allgemeinen linearen Gruppen. Aus der linearen Algebra über dem Körper der komplexen Zahlen und der Numerik bekannte Tatsachen wie die Jordan-Zerlegung, die LU-Zerlegung oder die simultane Trigonalisierbarkeit kommutierender Matrizen besitzen in diesem Kontext natürliche Analoga. Die Theorie der algebraischen Gruppen, genauer der affinen algebraischen Gruppen über einem algebraisch abgeschlossenen Körper, um die es hier gehen soll, baut auf der kommutativen Algebra und der Theorie der affinen Varietäten und im weiteren Verlauf auch der allgemeinen Varietäten auf, die in der Vorlesung auch in den speziell benötigten Bereichen ausgebaut werden soll. Algebraische Gruppen spielen eine zentrale Rolle in der Zahlentheorie, der Darstellungstheorie, der algebraischen Geometrie, beim Studium endlicher Gruppen, und überhaupt in weiten Teilen der Mathematik.

Literatur:

1.)

A. Borel: Linear Algebraic Groups (Second Enlarged Edition), Springer, 1991.

2.)

J.E. Humphreys: Linear Algebraic Groups, Springer, 1975.

3.)

W. Soergel: Vorlesungsskript Affine algebraische Gruppen, verfügbar unter
http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/XXAAG.pdf.

4.)

T.A. Springer: Linear Algebraic Groups (Second Edition), Springer, 1998.

Content:
Coxeter groups and Lie algebras are central notions in so-called Lie theory. They appear naturally in the study of representation theory of (certain) infinite groups, and have applications in various other fields of mathematics such as differential geometry, algebraic geometry and number theory.

In this course we will learn about the basic properties of Coxeter groups and reflection groups, root systems, and Lie algebras. We will see how these concepts interact with each other, and finally learn about the marvellous classification in terms of Dynkin diagrams: a certain type of decorated graphs that naturally fall apart into four infinite lists and a handful of “exceptional” examples.

Literature:

1.)

N. Bourbaki: Éléments de Mathématique, Groupes et algèbres de Lie (Chapitres 4 à 6), Springer, 2007.

2.)

W. Soergel: Lecture notes Spiegelungsgruppen und Wurzelsysteme, available at http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/XXSPW.pdf.

Inhalt:
Die Differentialgeometrie beschreibt und untersucht die geometrischen Eigenschaften gekrümmter Räume mit Methoden der Differentialrechnung. Daher findet die Differentialgeometrie Anwendungen in anderen Bereichen der Mathematik und in der Physik, etwa in der theoretischen Mechanik und der Relativitätstheorie.

In der Vorlesung werden zunächst die grundlegenden Begriffe und Methoden der Differentialgeometrie eingeführt (wie differenzierbare Mannigfaltigkeiten, Vektorbündel und Tensorfelder). Darauf aufbauend wird eine Einführung in die Riemannsche Geometrie gegeben, die ein Teilgebiet der Differentialgeometrie ist. Hier werden insbesondere Geodätische und der Riemannsche Krümmungstensor im Mittelpunkt stehen. Dort, wo es wenig Mehraufwand bedeutet, werden auch die etwas allgemeineren Strukturen der semi-Riemannschen Geometrie eingeführt, da diese zum Beispiel grundlegend für Anwendungen der Differentialgeometrie in der Relativitätstheorie sind.

Literatur:

1.)

M.P. do Carmo: Riemannian Geometry, Birkhäuser, 1992.

2.)

J.M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (Second Edition), Springer, 2012.

3.)

B. O’Neill: Semi-Riemannian Geometry with Applications to Relativity, Academic Press, 1983.

Inhalt:
Eine Vielzahl unterschiedlicher Probleme aus Naturwissenschaft und Geometrie führt auf partielle Differentialgleichungen. Mithin kann keine Rede von einer allumfassenden Theorie sein. Dennoch gibt es für lineare Gleichungen ein klares Bild, das sich an den drei Prototypen orientiert: der Potentialgleichung -Δu = f, der Wärmeleitungsgleichung ∂_tu - Δu = f und der Wellengleichung ∂_t²u - Δu = f, die wir in der Vorlesung untersuchen werden.

Literatur:

1.)

E. Di Benedetto: Partial differential equations, Birkhäuser, 1995.

2.)

L.C. Evans: Partial differential equations, Graduate Studies in Mathematics 19, AMS, 1998.

3.)

Q. Han: A basic course in partial differential equations, Graduate Studies in Mathematics 120, AMS, 2011.

4.)

F. John: Partial Differential Equations (Fourth Edition), Springer, 1982.

5.)

J. Jost: Partielle Differentialgleichungen, Springer, 1998.

Inhalt:
Die Vorlesung beschäftigt sich mit der Analysis linearer partieller Differentialgleichungen sowie der numerischen Approximation von deren Lösungen. Der Schwerpunkt liegt dabei auf der Behandlung des Poisson-Problems, analytisch mit Hilbertraummethoden sowie numerisch mit der Methode der Finiten Elemente. Diese Differentialgleichung beschreibt stationäre Wärmeverteilungen und Diffusionsprozesse und ist wesentlicher Bestandteil vieler mathematischer Beschreibungen realer Vorgänge. Die numerische Lösung basiert auf einer Variationsformulierung und einer Zerlegung des physikalischen Gebiets in Dreiecke oder Tetraeder. Damit wird ein kontinuierliches, unendlich-dimensionales Problem durch ein endlich-dimensionales lineares Gleichungssystem approximiert, welches effizient am Rechner gelöst werden kann. Die Exaktheit der Approximation in Abhängigkeit der analytischen Eigenschaften der kontinuierlichen Lösung und die iterative Lösung des linearen Gleichungssystems sind Schwerpunkte der Vorlesung. Im begleitenden Praktikum werden die theoretischen Ergebnisse experimentell verifiziert.

Die Vorlesung ist so konzipiert, dass auch Lehramtsstudierende, die die Vorlesung „Mehrfachintegrale“ oder die „Erweiterung der Analysis“ gehört haben, daran teilnehmen können.

Literatur:

1.)

S. Bartels: Numerical Approximation of Partial Differential Equations, Springer, 2016.

2.)

D. Braess: Finite Elemente (5. Auflage), Springer, 2013.

3.)

M. Dobrowolski: Angewandte Funktionalanalysis (2. Auflage), Springer, 2010.

4.)

L.C. Evans: Partial Differential Equations (Second Edition), AMS, 2010.

5.)

B. Schweizer: Partielle Differentialgleichungen, Springer, 2013.

Inhalt:
Die Vorlesung Mathematische Statistik baut auf Grundkenntnissen aus der Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie auf. Das grundlegende Problem der Statistik ist, anhand einer Stichprobe von Beobachtungen möglichst präzise Aussagen über den datengenerierenden Prozess bzw. die den Daten zugrundeliegenden Verteilungen zu machen. Hierzu werden in der Vorlesung die wichtigsten Methoden aus der statistischen Entscheidungstheorie wie Test-und Schätzverfahren eingeführt.

Stichworte hierzu sind u.a. Bayes-Schätzer und -Tests, Neyman-Pearson-Testtheorie, Maximum-Likelihood-Schätzer, UMVU-Schätzer, exponentielle Familien, lineare Modelle. Weitere Themen sind Ordnungsprinzipien zur Reduktion der Komplexität der Modelle (Suffizienz und Invarianz).

Statistische Methoden und Verfahren kommen nicht nur in den Naturwissenschaften und der Medizin, sondern in nahezu allen Bereichen zum Einsatz, in denen Daten erhoben und analysiert werden, so z.B. auch in den Wirtschaftswissenschaften (Ökonometrie) und Sozialwissenschaften (dort vor allem in der Psychologie). Im Rahmen dieser Vorlesung wird der Schwerpunkt aber weniger auf Anwendungen, sondern – wie der Name schon sagt – mehr auf der mathematisch fundierten Begründung der Verfahren liegen.

Literatur:

1.)

C. Czado, T. Schmidt: Mathematische Statistik, Springer, 2011.

2.)

L. Rüschendorf: Mathematische Statistik, Springer Spektrum, 2014.

3.)

M.J. Schervish: Theory of Statistics, Springer, 1995.

4.)

H. Witting: Mathematische Statistik I, Teubner, 1985.

Inhalt:
Zu Beginn der Vorlesung steht eine kurze Vorstellung der gängigsten Axiomensysteme der Mathematik: das Zermelo-Fraenkel’sche System mit Auswahlaxiom (ZFC) und das Axiomensystem von von Neumann, Bernays und Gödel (NBG). Die Axiome prägen unsere Auffassung von den möglichen definierbaren oder vielleicht weniger konstruktiv gegebenen mathematischen Objekten. Allerdings zeichnen sie kein vollständiges Bild eines einzigen mathematischen Universums. Die Liste der herleitbaren mathematischen Aussagen ist unvollständig: Für manche φ ist weder φ noch sein Negat aus ZFC beweisbar. Man sagt „φ ist unabhängig von ZFC“.

Die bekannteste von ZFC unabhängige Aussage ist die Kontinuumshypothese, die sagt, dass es genau ℵ₁ reelle Zahlen gibt.

Die Vorlesung führt in die Technik der Unabhängigkeitsbeweise ein. Nach ersten einfachen Forcings zur Kardinalzahlexponentiation werden wir ZF-Modelle ohne Auswahlaxiom und iterierte Forcings (z.B. zum Nachweis der relativen Konsistenz von Martins Axiom) kennenlernen. Es gibt ein Skript aus früheren Jahren.

Literatur:

1.)

H.-D. Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre (4. Auflage), Springer Spektrum, 2003.

2.)

P. Eklof, A. Mekler: Almost Free Modules (Revised Edition), North-Holland, 2002.

3.)

L. Halbeisen: Combinatorial Set Theory. With a Gentle Introduction to Forcing, Springer, 2012.

4.)

T. Jech: Set Theory (The Third Millenium Edition, revised and expanded), Springer, 2003.

5.)

K. Kunen: Set Theory. An Introduction to Independence Proofs, North Holland, 1980, elektronisch verfügbar unter
https://pdfs.semanticscholar.org/8929/ab7afdb220d582e9880b098c23082da8bc0c.pdf.

6.)

K. Kunen: Set Theory, College Publications, 2011.

7.)

S. Shelah: Proper and Improper Forcing (Second Edition), Springer, 1997.

Inhalt:
Die Veranstaltung setzt die Vorlesung Funktionalanalysis fort. Die dort untersuchten linearen Probleme sind oft nur Näherungen, wenn auch oft recht gute, der wahren nichtlinearen Probleme. Diese Vorlesung beschäftigt sich mit Fragestellungen der nichtlinearen Funktionalanalysis, d.h. der Untersuchung nichtlinearer Abbildungen zwischen unendlich-dimensionalen Banachräumen. In der Vorlesung werden Fixpunktsätze, die Integration und Differentation in Banachräumen, die Theorie monotoner Operatoren und der Abbildungsgrad behandelt. Dabei wird besonders auf die Wechselwirkungen zwischen abtrakter Theorie und konkreten Fragestellungen eingegangen.

Literatur:

1.)

E. Zeidler: Nonlinear Functional Analysis and its Applications (Bände I-III), Springer, 1985–1990.

2.)

M. Růžička: Nichtlineare Funktionalanalysis, Springer, 2004.

Content:
Machine Learning is one of the key technology in the recent developments in artificial intelligence. In this lecture we will look at the most recent developments and concentrate on a probabilistic perspective.

In particular we will study the reservoir computing paradigm, stochastic aspects of learning like GANs, new discretizations schemes of stochastic differential equations and many more.

A particular focus in the second half of the lecture will be on applications in Finance, like deep pricing, deep calibration and deep hedging.

Literature will be announced in the lecture.____________________________________________________________

Inhalt:
Die Vorlesung ist die erste Veranstaltung im Studiengang M.Sc. Mathematik, Studienschwerpunkt Wahrscheinlichkeitstheorie, Finanzmathematik und Statistik, insbesondere in der Profillinie Finanzmathematik. Sie schließt direkt an die Vorlesung „Wahrscheinlichkeitstheorie“ aus dem WS 2019/20 an.

Ein stochastischer Prozess (X_t)_t≥0 ist eine Familie von Zufallsvariablen. Einfache Beispielesind Irrfahrten, Markov-Ketten, die Brown’sche Bewegung oder davon abgeleitete Prozesse. Vor allem in der Modellierung von finanzmathematischen oder naturwissenschaftlichen Fragestellungen spielt die Brown’sche Bewegung eine große Rolle.

Wir werden uns zunächst mit der reichhaltigen Klasse von Martingalen beschäftigen und die wichtigen Martingalkonvergenzssätze kennen lernen. Anschließend konstruieren wir die Brown’sche Bewegung und studieren ihre Pfadeigenschaften. Infinitesimale Charakteristiken eines Markov-Prozesses werden durch Generatoren beschrieben, was eine Verbindung zur Theorie von partiellen Differentialgleichungen ermöglicht. Im Sommersemester 2021 wird diese Veranstaltung durch die Vorlesung „Stochastische Integration und Finanzmathematik“ fortgeführt.

Literatur:

1.)

O. Kallenberg: Foundations of Modern Probability (Second Edition), Springer, 2002.

2.)

A. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie (3. Auflage), Springer Spektrum, 2013.

3.)

D. Williams: Probability with Martingales, Cambridge University Press, 1991, elektronisch verfügbar unter http://static.stevereads.com/papers_to_read/probability_with_martingales_williams_.pdf.

Content:
Transcendence theory as part of number theory has a long and distinguished tradition in Freiburg, beginning with Lindemann’s proof of transcendence of π and continuing with Schneider’s results on transcendence of values of log.

In this lecture we want to study the most general result available at present, the analytic subgroup theorem of Wüstholz. It characterises subgroups of commutative algebraic groups which contain points defined over Q. The above mentioned special cases are easy consequences. Its strength is in not only determining when a number is transcendental, but also giving information on the Q-linear relations between them.

While the formulation uses the language of algebraic geometry and complex Lie groups, the actual arguments are about constructing holomorphic functions. We will take the time to develop the necessary background as well.

Literature:

1.)

A. Baker, G. Wüstholz: Logarithmic forms and Diophantine geometry (New Mathematical Monographs 9), Cambridge University Press, 2007.

2.)

G. Wüstholz: Algebraische Punkte auf analytischen Untergruppen algebraischer Gruppen, Ann. of Math. (2) 129 (1989), no. 3, 501–517.

Inhalt:
Das Problem der Axiomatisierung der Wahrscheinlichkeitstheorie wurde 1933 von Kolmogorov gelöst: Eine Wahrscheinlichkeit ist ein Maß auf der Menge aller möglichen Versuchsausgänge eines zufälligen Experiments. Von diesem Ausgangspunkt entwickelt sich die gesamte moderne Wahrscheinlichkeitstheorie mit zahlreichen Bezügen zu aktuellen Anwendungen.

Die Vorlesung ist eine systematische Einführung dieses Gebietes auf maßtheoretischer Grundlage und beinhaltet unter anderem den zentralen Grenzwertsatz in der Version von Lindeberg-Feller, bedingte Erwartungen und reguläre Versionen, Martingale und Martingalkonvergenzsätze, das starke Gesetz der großen Zahlen und den Ergodensatz sowie die Brownsche Bewegung.

Literatur wird in der Vorlesung bekanntgegeben werden.___________________________________________

Content:
The aim of the course is to give an introduction into numerical methods for the solution of optimization problems in science and engineering. The focus is on continuous nonlinear optimization in finite dimensions, covering both convex and nonconvex problems. The course is accompanied by intensive computer exercises and divided into four major parts:

1.

Fundamental Concepts of Optimization : Definitions, Types, Convexity, Duality

2.

Unconstrained Optimization and Newton Type Algorithms : Stability of Solutions, Gradient and Conjugate Gradient, Exact Newton, QuasiNewton, BFGS and Limited Memory BFGS, and GaussNewton, Line Search and Trust Region Methods, Algorithmic Differentiation

3.

Equality Constrained Optimization Algorithms : Newton Lagrange and Generalized Gauss–Newton, Range and Null Space Methods, QuasiNewton and Adjoint Based Inexact Newton Methods

4.

Inequality Constrained Optimization Algorithms : KarushKuhnTucker Conditions, Linear and Quadratic Programming, Active Set Methods, Interior Point Methods, Sequential Quadratic and Convex Programming, Quadratic and Nonlinear Parametric Optimization

Please read up on the website of the department and/or HISinOne for further information.

The lecture is accompanied by intensive weekly computer exercises based on MATLAB (6 ECTS) and an optional project (3 ECTS). The project consists in the formulation and implementation of a self-chosen optimization problem or numerical solution method, resulting in documented computer code, a project report, and a public presentation.

Literature:

1.)

A. Beck: Introduction to Nonlinear Optimization, MOS-SIAM, 2014.

2.)

S. Boyd, L. Vandenberghe: Convex Optimization, Cambridge University Press, 2004, elektronisch verfügbar unter https://web.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.pdf.

3.)

M. Diehl: Vorlesungsskript Numerical Optimization, verfügbar unter https://www.syscop.de/files/2015ws/numopt/numopt_0.pdf.

4.)

J. Nocedal, S.J. Wright: Numerical Optimization (Second Edition), Springer, 2006.

Content:
This course covers an introduction to financial markets and products. Besides futures and standard put and call options of European and American type we also discuss interest-rate sensitive instruments such as swaps.

For the valuation of financial derivatives we first introduce financial models in discrete time as the Cox-Ross-Rubinstein model and explain basic principles of risk-neutral valuation. Finally, we will discuss the famous Black–Scholes model which represents a continuous time model for option pricing.

The course, which is taught in English, is offered for the first year in the Finance profile of the M.Sc. Economics program as well as for students of M.Sc. and B.Sc. Mathematics and M.Sc. Volkswirtschaftslehre.

For students who are currently in the B.Sc. Mathematics program, but plan to continue with the special profile Finanzmathematik within the M.Sc. Mathematics, it is recommended to credit this course for the latter profile and not for B.Sc. Mathematics.

Literature:

1.)

D.M. Chance, R. Brooks: An Introduction to Derivatives and Risk Management, (10th edition), Cengage, 2016.

2.)

J.C. Hull: Options, Futures, and other Derivatives (10th edition), Pearson, 2018.

3.)

S.E. Shreve: Stochastic Calculus for Finance I: The Binomial Asset Pricing Model, Springer, 2004.

4.)

R.A. Strong: Derivatives. An Introduction, (Second edition), South-Western, 2004.

Content:
Geometric data arise naturally in many scientific fields such as computational anatomy, brain connectivity, molecular biology, meteorology, oceanology, online navigation, social networks, and finance.

Moreover, in everyday-life applications, depth-enhanced image data is produced by time-of-flight sensors in cars, game consoles, and recently also cell phone cameras. Analyzing such geometric data is a major challenge, as the configuration spaces of e.g. curves, surfaces, diffeomorphisms, graphs, etc. are infinite-dimensional nonlinear manifolds or more general stratified spaces.

This course develops theoretical foundations for geometric data science, which are rooted in infinite-dimensional Riemannian geometry and combine methods of machine learning, statistics, and stochastics._________________________________________________________________________________________________

Inhalt:
Bei diesem Modul handelt es sich um eine Begleitveranstaltung zu Tutoraten zu Mathematikvorlesungen. Teilnehmen können an dem Modul alle Studierenden in einem Bachelor- oder Master-Studiengang in Mathematik (einschließlich Zwei-Hauptfächer-Bachelor mit Mathematik als einem der beiden Fächer), die sich für das gleiche Semester erfolgreich um eine Tutoratsstelle zu einer Mathematikvorlesung beworben haben (mindestens eine zweistündige oder zwei einstündige Übungsgruppen über das ganze Semester, aber ohne Einschränkungen an die Vorlesung).

Leistungsnachweis:

• Teilnahme an dem Einführungsworkshop. Voraussichtlich etwa zwei halbe Tage; einen ungefähr in der ersten Vorlesungswoche und einen nach etwa vier Wochen. Näheres wird rechtzeitig bekanntgegeben.
• Regelmäßige Teilnahme an der Tutorenbesprechung.
• Zwei gegenseitige Tutoratsbesuche mit einem (oder mehreren) anderen Modulteilnehmer, welcher nach Möglichkeit die gleiche Vorlesung tutoriert, oder zwei Besuche durch den betreuenden Assistenten, und Austausch über die Erfahrungen (die Zuteilung der Paarungen erfolgt bei der Einführungsveranstaltung).

Das Modul kann einmal im Bachelor-Studium und bis zu zweimal im Master-Studium absolviert werden und wird jeweils mit 3 ECTS-Punkten im Wahlbereich (im 2-Hf-Bachelor: „Optionsbereich“) angerechnet. Im 2-Hf-Bachelor ist es bei Wahl der Lehramtsoption eine über die 180 geforderter ECTS-Punkte hinausgehende Zusatzleistung. Es handelt sich um eine Studienleistung, d.h. das Modul wird nicht benotet._________________________________________________

Inhalt:
Der Einsatz von Unterrichtsmedien im Mathematikunterricht gewinnt sowohl auf der Ebene der Unterrichtsplanung wie auch der der Unterrichtsrealisierung an Bedeutung. Vor dem Hintergrund konstruktivistischer Lerntheorien zeigt sich, dass der reflektierte Einsatz unter anderem von Computerprogrammen die mathematische Begriffsbildung nachhaltig unterstützen kann. So erlaubt beispielsweise das Experimentieren mit Computerprogrammen mathematische Strukturen zu entdecken, ohne dass dies von einzelnen Routineoperationen (wie z. B. Termumformung) überdeckt würde. Es ergeben sich daraus tiefgreifende Konsequenzen für den Mathematikunterricht. Von daher setzt sich dieses Seminar zum Ziel, den Studierenden die notwendigen Entscheidungs- und Handlungskompetenzen zu vermitteln, um zukünftige Mathematiklehrer auf ihre berufliche Tätigkeit vorzubereiten. Ausgehend von ersten Überlegungen zur Unterrichtsplanung werden anschließend Computer und Tablets hinsichtlich ihres jeweiligen didaktischen Potentials untersucht und während eines Unterrichtsbesuchs mit Lernenden erprobt.

Die dabei exemplarisch vorgestellten Systeme sind:

• dynamische Geometrie Software: Geogebra
• Tabellenkalkulation: Excel
• Apps für Smartphones und Tablets

Die Studierenden sollen Unterrichtssequenzen ausarbeiten, die dann mit Schülern erprobt und reflektiert werden (soweit dies möglich sein wird).____________________________________________________

Studierende im M.Ed.-Studiengang Mathematik, die eine Masterarbeit in Fachdidaktik der Mathematik schreiben möchten, müssen das dreiteilige Modul Fachdidaktische Forschung absolvieren (beginnend mit Teil 1). Die Teilnahme ist durch die Betreuungskapazitäten begrenzt und daher auch für die Studierenden, die eine fachdidaktische Arbeit schreiben möchten, reserviert. Falls es mehr Interessenten als freie Plätze gibt, werden Sie frühzeitig über das weitere Vorgehen informiert.

Inhalt:
Diese drei zusammengehörigen Veranstaltungen bereiten auf das Anfertigen einer empirischen Masterarbeit in der Mathematikdidaktik vor. Das Angebot wird von allen Professorinnen und Professoren mit mathematikdidaktischen Forschungsprojekten der Sekundarstufe 1 und 2 gemeinsam konzipiert und von einem dieser Forschenden durchgeführt. Im Anschluss besteht das Angebot, bei einer dieser Personen eine fachdidaktische Masterarbeit anzufertigen – meist eingebunden in größere laufende Forschungsprojekte.
In der ersten Veranstaltung findet eine Einführung in Strategien empirischer fachdidaktischer Forschung statt (Forschungsfragen, Forschungsstände, Forschungsdesigns). Studierende vertiefen ihre Fähigkeiten der wissenschaftlichen Recherche und der Bewertung fachdidaktischer Forschung.
In der zweiten Veranstaltung (im letzten Semesterdrittel) werden die Studierenden durch konkrete Arbeit mit bestehenden Daten (Interviews, Schülerprodukte, Experimentaldaten) in zentrale qualitative und quantitative Forschungsmethoden eingeführt.

Die Haupziele des Moduls sind:

• Fähigkeit zur Rezeption mathematikdidaktischer Forschung zur Klärung praxisrelevanter Fragen,
• Planung einer empirischen mathematikdidaktischen Masterarbeit.

Es wird abgehalten werden als Mischung aus Seminar, Erarbeitung von Forschungsthemen in Gruppenarbeit sowie aktivem Arbeiten mit Forschungsdaten. Literatur wird abhängig von den angebotenen Forschungsthemen innerhalb der jeweiligen Veranstaltungen angegeben werden.

Die Teile können (in der richtigen Reihenfolge) auch in verschiedenen Semestern besucht werden, zum Beispiel Teil 1 im zweiten Mastersemester und Teil 2 in der Kompaktphase des dritten Mastersemesters nach dem Praxissemester. _____________________________________________

Inhalt:
In der praktischen Übung zur Numerik-Vorlesung sollen die in der Vorlesung entwickelten und analysierten Algorithmen praktisch umgesetzt und getestet werden. Dies wird mit Hilfe der kommerziellen Software Matlab zur Lösung und Visualisierung mathematischer Probleme geschehen. Elementare Programmierkenntnisse werden vorausgesetzt.

Literatur:

1.)

S. Bartels: Numerik 3x9, Springer, 2016.

Inhalt:
Die praktische Übung richtet sich an Hörerinnen und Hörer der Vorlesung Stochastik. Es werden computerbasierte Methoden diskutiert, die das Verständnis des Stoffes der Vorlesung vertiefen und weitere Anwendungsbeispiele aufzeigen sollen. Dazu wird das frei verfügbare Open-Source-Statistikprogramm R verwendet werden. Nach einer Einführung in R werden u.a. Verfahren der deskriptiven Statistik und graphischen Auswertung von Daten betrachtet, die numerische Erzeugung von Zufallszahlen erläutert sowie parametrische und nichtparametrische Tests und lineare Regressionsverfahren diskutiert. Vorkenntnisse in R und/oder Programmierkenntnisse werden dabei nicht vorausgesetzt.

Die praktische Übung ist für Studierende im (1-Hauptfach) B.Sc. Mathematik obligatorisch. Studierende des 2-Hauptfächer-Bachelors mit Lehramtsoption können selbstverständlich ebenfalls teilnehmen und die praktische Übung als Teil des Wahlpflichtmoduls Mathematik im Rahmen ihres Studiengangs verbuchen. Im Studiengang Master of Education kann die Veranstaltung als Mathematische Ergänzung belegt werden.

Für das Nacharbeiten der Lektionen und zur Lösung der darin enthaltenen Übungen sollten alle Teilnehmenden die dazu benötigte Software (R und RStudio) auf ihren eigenen Rechnern installieren. Genauere Anleitungen hierzu sowie Links zum Download der kostenlosen Programme werden frühzeitig auf der o.g. Webseite bekannt gegeben werden.

Zu den einzelnen Lektionen der praktischen Übung wird ein ausführliches Skriptum bereitgestellt werden. Als ergänzende Lektüre für diejenigen, die ihre R-Kenntnisse festigen und erweitern möchten, kann eigentlich nahezu jedes der inzwischen zahlreich erhältlichen einführenden Bücher zu R empfohlen werden.______________________________________________________________________________________

Inhalt:
In der praktischen Übung zur Vorlesung sollen die in der Vorlesung entwickelten und analysierten Algorithmen praktisch umgesetzt und getestet werden. Dies wird mit Hilfe der kommerziellen Software MATLAB zur Lösung und Visualisierung mathematischer Probleme geschehen. Elementare Programmierkenntnisse werden vorausgesetzt.

Literatur:

1.)

S. Bartels: Numerical Approximation of Partial Differential Equations, Springer, 2016.

Inhalt:
Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus 2 und 5-Cent-Stücken einen vorgegebenen Betrag zu kombinieren? Wie findet man eine explizite Formel für die n-te Fibonacci-Zahl? Wie viele zusammenhängende markierte Graphen gibt es zu fester Knotenzahl?

Diese und viele andere Fragen verbindet, dass man sie mit Hilfe erzeugender Funktionen „lösen“ kann: Wir wollen im Seminar den Ansatz verfolgen, die auftretenden Folgen als Koeffizienten einer Potenzreihe zu interpretieren und die so entstehenden Funktionen untersuchen.

Der größte Teil des Seminars orientiert sich entlang des Buches von Herbert Wilf.

Literatur:

1.)

H. Wilf: Generatingfunctionology, online verfügbar unter https://www.math.upenn.edu/~wilf/gfology2.pdf.

2.)

J. Wolfart: Einführung in die Zahlentheorie und Algebra (2. Auflage), Springer Vieweg, 2011.

Inhalt:
Durch den Volterra-Operator

Literatur:

1.)

J.H. Shapiro: Volterra Adventures, Student Mathematical Library 85, AMS, 2018.

Inhalt:
Dem großen ungarischen Mathematiker Paul Erdős zufolge sollte jeder Mathematiker an das BUCH glauben, in dem Gott die perfekten Beweise für mathematische Sätze aufbewahren würde. In ihrer Annäherung an das BUCH haben Aigner und Ziegler eine große Anzahl von Sätzen zusammengetragen, deren elegante, raffinierte und überraschende Beweise (nach Meinung der Autoren) wahren BUCH-Beweisen schon recht nahe kommen dürften. Die dort vorgestellten Resultate sind weitgehend unabhängig voneinander und vielfältig über verschiedene Gebiete der Mathematik verteilt, von Zahlentheorie, Geometrie, Analysis und Kombinatorik hin zur Graphentheorie.

In den Proseminarvorträgen soll jeweils eines dieser Resultate, basierend auf dem zugehörigen Kapitel des Buches, genauer vorgestellt und erläutert werden. Dabei können (in gewissen Grenzen) Interessen und Themenwünsche der Teilnehmenden berücksichtigt werden. Alle ins Auge gefassen Themen sind im Wesentlichen mit den üblicherweise im Grundstudium Mathematik erworbenen Kenntnissen zugänglich, an manchen Stellen ist aber auch ein wenig Fachwissen aus weiterführenden Vorlesungen sicher hilfreich.

Literatur:

1.)

M. Aigner, G.M. Ziegler: Das BUCH der Beweise (4. Auflage), Springer, 2015.
Als elektronischer Volltext (innerhalb des Uni-Netzes!) verfügbar unter
http://www.redi-bw.de/start/unifr/EBooks-springer/10.1007/978-3-662-44457-3

Inhalt:
Es sollen Kurven in der Ebene und im Raum untersucht werden. Die lokale Geometrie einer Kurve wird durch ihre Krümmung beschrieben. Globale Größen sind zum Beispiel die Länge, der eingeschlossene Flächeninhalt oder die Windungszahl. Mit den Methoden aus Analysis und Lineare Algebra I,II lassen sich eine Reihe schöner Aussagen zum Wechselspiel zwischen lokaler und globaler Geometrie beweisen.

Das Proseminar wendet sich an Studierende mit Interesse an Analysis oder Geometrie. Weitere Literatur wird ggf. bei der Vorbesprechung genannt.

Literatur:

1.)

C. Bär: Elementare Differentialgeometrie (2. Auflage), de Gruyter 2010, 26–91.

2.)

E. Kuwert: Vorlesungsskript Elementare Differentialgeometrie, verfügbar unter http://home.mathematik.uni-freiburg.de/analysis/ElDiffGeo18/skript.pdf, 3–33.

Inhalt:
Das Seminar stellt ein Angebot an M.Ed.-Studierende im Praxissemester für das Modul „Mathematische Ergänzung“ dar, es können aber auch Proseminar-Vorträge und vereinzelte Vorträge Richtung Algebra oder Topologie für das Bachelor-Seminar im B.Sc. vergeben werden.

Kristallographische Gruppen sind unendliche Gruppen, die die Symmetrien von Kristallen (also von Atomen, Ionen oder Molekülen, die in einer Kristallstruktur angeordnet sind) beschreiben. Schon Ende des 19. Jahrhunderts wurde gezeigt, dass es (im 3-dimensionalen Raum) genau 230 verschiedene Arten dieser Gruppen gibt, und die Zuordnung der Symmetriegruppe wird standardmäßig, neben z.B. der chemischen Zusammensetzung, als Grundeigenschaft auf dem Datenblatt eines Kristalls aufgeführt.

Dass es nur endlich viele kristallographische Gruppen gibt, lässt sich schon mit linearer Algebra beweisen, sogar in beliebiger Dimension! In höheren Dimensionen spricht man deswegen auch von Raumgruppen. In Dimension 2 werden diese wiederum auch Wandmustergruppen (engl. wallpaper groups) genannt; hier gibt es genau 17 dieser Gruppen, die eben die möglichen Symmetrien von Tapetenmustern beschreiben, z.B.

Neben Anwendungen in der Kristallographie oder beim Erstellen von Tapetenmustern gibt es aber auch sehr schöne Verbindungen zu anderen Bereichen der Mathematik, wie Topologie, Differentialgeometrie, Darstellungstheorie von endlichen Gruppen bis hin zur algebraischen Zahlentheorie.

In diesem Seminar werden wir uns dem Thema der kristallographischen Gruppen widmen, die Hauptresultate über die Endlichkeit der kristallographischen Gruppen zeigen und zugleich einige dieser Querverbindungen aufgreifen.

Literatur:

1.)

L.S. Charlap: Bieberbach groups and flat manifolds, Springer, 1986, Kap. I.

2.)

D.L. Johnson: Symmetries, Springer, 2001, Kap. 1–8.

3.)

A. Szczepański: Geometry of crystallographic groups, World Scientific, 2012, Kap. 1–3.

Inhalt:
Wir wollen uns in diesem Seminar grob der historischen Entwicklung folgend mit der Invariantentheorie beschäftigen.

Die klassische Invariantentheorie des 19. Jahrhunderts behandelt die Wirkung einer Gruppe G auf dem Polynomring k[x₁,…,x_n] über einem Körper k. Typische Fragestellungen beschäftigen sich mit den invarianten Polynomen. Diese bilden den Invariantenring k[x₁,…,x_n]^G – eine k-Unteralgebra von k[x ₁,…,x_n] – und man kann beispielsweise versuchen, Erzeuger dieser k-Algebra zu finden, sowie Relationen zwischen diesen Erzeugern. Diese sogenannten Fundamentalen Probleme lassen sich beispielsweise für abelsche Gruppen, endliche Untergruppen von SL₂(ℂ), oder klassische Lie-Gruppen wie SL_n(ℂ), O_n(ℂ) lösen.

Die moderne Sichtweise der geometrischen Invariantentheorie wiederum interpretiert die Elemente des Invariantenrings als Funktionen auf einer Quotientenvarietät und untersucht wechselseitig Geometrie und Algebra.

Darüberhinaus haben seit Ende des 20. Jahrhunderts algorithmische Methoden große Bedeutung erlangt. Diese bauen unter anderem auf der Theorie der Gröbnerbasen auf, welche es beispielsweise erlauben, die Frage nach der Zugehörigkeit eines Polynoms zu einem Ideal oder der Dimension einer Varietät eindeutig zu beantworten. Somit können sie geometrisch als – unter gewissen Gesichtspunkten – ideale Gleichungen für algebraische Varietäten angesehen werden.

Literatur:

1.)

D. Cox, J. Little, D. O’Shea: Ideals, varieties, and algorithms, Springer, 2015.

2.)

H. Kraft: Geometrische Methoden in der Invariantentheorie, Springer Vieweg, 1984.

3.)

M.D. Neusel: Invariant theory, AMS, 2007.

4.)

B. Sturmfels: Algorithms in invariant theory (Second Edition), Springer, 2008.

Inhalt:
Wir untersuchen in diesem Seminar sowohl Minimalflächen als auch Flächen mit konstanter mittlerer Krümmung.

Minimalflächen sind Flächen im Raum mit „minimalem“ Flächeninhalt und lassen sich mit Hilfe holomorpher Funktionen beschreiben. Sie treten u.a. bei der Untersuchung von Seifenhäuten und der Konstruktion stabiler Objekte (z.B. in der Architektur) in Erscheinung. Bei der Untersuchung von Minimalflächen kommen elegante Methoden aus verschiedenen mathematischen Gebieten wie der Funktionentheorie, der Variationsrechnung, der Differentialgeometrie und der partiellen Differentialgleichungen zur Anwendung. Wir untersuchen auch Flächen mit konstanter mittlerer Krümmung als Verallgemeinerung der Minimalflächen.

Das Seminar eignet sich sowohl für Studierende im B.Sc. und M.Sc. Mathematik als auch für Lehramtsstudierende.

Literatur:

1.)

T.H Colding, W.P. Minicozzi II: Minimal Surfaces, Graduate Studies in Mathematics 121, AMS, 2011.

2.)

J.-H. Eschenburg, J. Jost: Differentialgeometrie und Minimalflächen (3. Auflage), Springer, 2014.

3.)

E. Kuwert: Vorlesungsskript Einführung in die Theorie der Minimalflächen, verfügbar unter http://home.mathematik.uni-freiburg.de/analysis/lehre/skripten/MinimalflaechenSS98/minimalfl_240815.pdf.

4.)

W.H. Meeks III, J. Pérez: A survey on classical minimal surface theory, verfügbar unter https://www.ugr.es/~jperez/papers/monograph-book2.pdf.

5.)

R. Osserman: A survey of minimal surfaces, Dover, 2002.

Inhalt:
Die Lehre und die Forschung über Färbungen großer Grundräume mit wenigen Farben und Finden recht großer homogener Teilräume heißt Ramsey-Theorie nach Frank Plumpton Ramsey (1903–1930). In diesem Seminar studieren wir Färbungen von Bäumen.

Im Forcing von Modellen für echte Abschwächungen des Auswahlaxioms spielen Baumfärbungseigenschaften eine Rolle für die Existenz von Filtern symmetrischer Untergruppen. Ein berühmter Satz über homogene Niveaumengen auf Produkten von Bäumen ist der Satz von Halpern und Läuchli von 1966, zu dem erst Anfang der 2000er Jahre ein „metamathematikfreier“ Beweis gefunden wurde. Dieser Satz ist ein wesentlicher Baustein im Satz von Halpern und Lévy, dass das Primidealtheorem nicht das Auswahlaxiom impliziert. Im Seminar sollen die trickreichen, aber recht elementaren kombinatorischen Schlüsse in Todorcevics Beweis des Halpern-Läuchli-Satzes studiert werden. Zu diesem Thema können Abschlussarbeiten vergeben werden.

Literatur:

1.)

N. Dobrinen, D. Hathaway: The Halpern-Läuchli theorem at a measurable cardinal, J. Symb. Log. 82 (2017), 1560–1575.

2.)

P. Erdős, A. Hajnal, A. Máté, R. Rado: Combinatorial Set Theory: Partition Relations for Cardinals, North-Holland, 1984.

3.)

J.D. Halpern, H. Läuchli: A partition theorem, Trans. Amer. Math. Soc. 124 (1966), 360–367.

4.)

S. Todorcevic: Introduction to Ramsey Spaces, Princeton University Press, 2010.

Inhalt:
Im Seminar sollen weiterführende Fragestellungen der numerischen Mathematik diskutiert werden. Dazu gehören die Themen:

• Stabilität der Gauß-Elimination [5]
• Konvergenz des QR-Verfahrens für Eigenwertberechnungen [6, 4]
• Varianten des Simplex-Verfahrens [1, 3]
• Entwicklung hochdimensionaler Quadraturformeln [5]
• Optimalitätsbedingungen für konvexe Optimierungsprobleme [3]
• Mehrdimensionale Interpolation [1]
• Approximation mit Bernstein-Polynomen [7]
• Relaxationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme [6]
• Vorkonditioniertes CG-Verfahren [1]
• Methode von Hyman zur Eigenwertberechnung [6]
• GMRES-Verfahren als Erweiterung des CG-Verfahrens [6]
• Quasi-Newton-Verfahren [2]

Die Themen sind voneinander unabhängig. Bei Anmeldung zum Seminar können zwei Wunschthemen angegeben werden, darüberhinaus erfolgt die Vergabe zufällig.

Literatur:

1.)

S. Bartels: Numerik 3x9, Springer, 2016.

2.)

C. Geiger, C. Kanzow: Numerische Verfahren zur Lösung unrestringierter Optimierungsaufgaben, Springer, 1999.

3.)

C. Geiger, C. Kanzow: Theorie und Numerik restringierter Optimierungsaufgaben, Springer, 2002.

4.)

H. Harbrecht: Vorlesungsskript Numerische Mathematik, Universität Basel, 2013.

5.)

N.J. Higham: Accuracy and stability of numerical algorithms (Second Edition), SIAM, 2002.

6.)

R. Plato: Numerische Mathematik kompakt (4. Auflage), Springer Vieweg, 2010.

7.)

A. Salgado, S. Wise: Vorlesungsskript Graduate Numerical Analysis, Universität Knoxville, 2020, verfügbar unter http://www.math.utk.edu/~swise/NABook/book.pdf.

Inhalt:
In den letzten Monaten hört man immer wieder von mathematischen Modellen der Epidemiologie. Wir werden in diesem Seminar auf Grundlage eines Sammelbandes von Tom Britton und Etienne Pardoux (Stochastic Epidemic Models with Inference, Springer, 2019) und aktuellen Veröffentlichungen auf diese Modelle eingehen.___________________________________________

Inhalt:
Zur Beantwortung komplexer biomedizinischer Fragestellungen aus großen Datenmengen ist oft ein breites Spektrum an Analysewerkzeugen notwendig, z.B. Deep Learning- oder allgemeiner Machine Learning-Techniken, was häufig unter dem Begriff „Medical Data Science“ zusammengefasst wird. Statistische Ansätze spielen eine wesentliche Rolle als Basis dafür. Eine Auswahl von Ansätzen soll in den Seminarvorträgen vorgestellt werden, die sich an kürzlich erschienenen Originalarbeiten orientieren. Die genaue thematische Ausrichtung wird noch festgelegt. Zu Beginn des Seminars werden ein oder zwei Übersichtsvorträge stehen, die als vertiefende Einführung in die Thematik dienen.

Hinweise auf einführende Literatur werden in der Vorbesprechung gegeben.___________________

Content:
After successful completion of the course, the student is able to

• describe scenarios for climate change and for the transformation to a low-carbon economy,
• discuss current global trends for the investment in low-carbon energy systems,
• relate climate risks and policy risks to systemic risk in financial systems,
• communicate key points from current reports and scientific articles covering the global energy transition, climate risks, and their relation to the financial system.

Topics of the seminar include:

• Scenarios for climate change and for the transition to a low-carbon economy
• The role of climate change and the energy transition for financial stability
• The interplay between policy, investment dynamics, and technological development
• Classification of sustainable investments and assessment of climate-related risks
• The impact of the energy transition on capital markets
• The fossil fuel divestment movement

Literature:

1.)

A call for action – Climate change as a source of financial risk, Network for Greening the Financial System (NGFS), 2019.

2.)

Annual Review 2018–2019, Carbon Tracker, 2019.

3.)

World Energy Investment 2020, International Energy Agency (IEA), 2020.

4.)

E. Camiglio et al.: Climate change challenges for central banks and financial regulators, Nature Climate Change 8 (2018), 462–468.

Further literature will be announced in the seminar. ________________________________________

Inhalt:
Viele Fragestellungen aus Naturwissenschaft und Technik führen auf zeitabhängige, nichtlineare partielle Differentialgleichungen. Am Beispiel der nichtlinearen Wärmeleitungsgleichung und der Navier-Stokes Gleichung erarbeiten wir uns Methoden, um diese lösen zu können. Die behandelten Themen eignen sich als Grundlage für Bachelor- und Masterarbeiten.__________

Inhalt:
In diesem Seminar beschäftigen wir uns mit Aspekten der nichtlinearen Elastizitätstheorie, welche eine wichtige Basis zur Modellierungen von Festkörpern darstellt. Das mathematische Fundament zur Behandlung der Elastizitätstheorie wurde von John Ball in seinem seminalen Artikel von 1977 gelegt [1]. Wir werden die mathematischen Schwierigkeiten, die die Behandlung dieser Probleme darstellt, im Seminar kennenlernen [3].

Des Weiteren werden wir auch angewandtere Aspekte betrachten, wie Dimensionsreduktion, das Falten von Papier und der Mikrostruktur von Metallen. Dimensionsreduktion ist ein Prozess, bei welchen man herausfinden möchte, wie das effektive Verhalten von z.B. dünnen Platten beschrieben werden kann, wenn man diese als zwei-dimensionale Objekte modelliert [2, 4]. Die Mikrostruktur, welche sich in bestimmten Metalllegierungen formt, kann ebenfalls über nichtlineare Elastizitätstheorie beschrieben werden [5].

Das Seminar richtet sich insbesondere an Masterstudierende, bestimmte Vorträge eignen sich allerdings auch als Themen für Bachelorarbeiten.

Literatur:

1.)

J.M. Ball: Convexity conditions and existence theorems in nonlinear elasticity, Arch. Rat. Mech. Anal. 63 (1977), 337–403.

2.)

S. Conti, F. Maggi: Confining thin elastic sheets and folding paper, Arch. Rat. Mech. Anal. 187 (2008), 1–48.

3.)

B. Dacorogna: Direct Methods in the Calculus of Variations, Springer, 2008.

4.)

G. Friesecke, R.D. James, S. Müller: A theorem on geometric rigidity and the derivation of nonlinear plate theory from three-dimensional elasticity, Comm. Pur. Appl. Math. 55 (2002), 1461–1506.

5.)

R.V. Kohn, S. Müller: Surface energy and microstructure in coherent phase transitions, Comm. Pur. Appl. Math. 47 (1994), 405–435.

Inhalt:
In einem Lesekurs „Wissenschaftliches Arbeiten“ wird der Stoff einer vierstündigen Vorlesung im betreuten Selbststudium erarbeitet. In seltenen Fällen kann dies im Rahmen einer Veranstaltung stattfinden; üblicherweise werden die Lesekurse aber nicht im Vorlesungsverzeichnis angekündigt. Bei Interesse nehmen Sie vor Vorlesungsbeginn Kontakt mit einer Professorin/einem Professor bzw. einer Privatdozentin/einem Privatdozenten auf; in der Regel wird es sich um die Betreuerin/den Betreuer der Master-Arbeit handeln, da der Lesekurs im Idealfall als Vorbereitung auf die Master-Arbeit dient (im M.Sc. wie im M.Ed.).

Der Inhalt des Lesekurses, die näheren Umstände sowie die zu erbringenden Studienleistungen (typischerweise regelmäßige Treffen mit Bericht über den Fortschritt des Selbststudiums, eventuell Vorträge in einer Arbeitsgruppe, einem Oberseminar, Projektseminar …) werden zu Beginn der Vorlesungszeit von der Betreuerin/dem Betreuer festgelegt. Die Arbeitsbelastung sollte der einer vierstündigen Vorlesung mit Übungen entsprechen.

Die Betreuerin/der Betreuer entscheidet am Ende der Vorlesungszeit, ob die Studienleistung bestanden ist oder nicht. Im M.Ed. und im Modul „Mathematik“ des M.Sc. gibt es eine mündliche Abschlussprüfung über den Stoff des Lesekurses, im Vertiefungsmodul des M.Sc. eine mündliche Abschlussprüfung über sämtliche Teile des Moduls. Ein Lesekurs zur Vorbereitung auf die Master-Arbeit kann im M.Sc. auch im Wahlmodul angerechnet werden (ohne Prüfung, nur Studieneistung).

Im M.Sc.-Studiengang ist daran gedacht, dass Sie einen, maximal zwei Lesekurse absolvieren. ________________________________________________________________________________________

Content:
We are studying a subject within the scope our Graduiertenkolleg “Cohomological Methods in Geometry”: algebraic geometry, arithmetic geometry, representation theory, differential topology or mathematical physics or a mix thereof.

The precise topic will be chosen at the end of the preceeding semester. The program will be made available via our web site.

The level is aimed at our doctoral students. Master students are very welcome to participate as well. ECTS points can be gained as in any other seminar. For enquiries, see Prof. Dr. Annette Huber-Klawitter or any other member of the Graduiertenkolleg._________________________________