11.4 Riemannsche Flächen

Inhalt:
Riemannsche Flächen sind kompakte, komplexe Mannigfaltigkeiten der Dimension 1. Sie treten bei der analytischen Fortsetzung holomorpher Funktionen einer Veränderlichen als deren Definitionsbereich auf.

Das Ziel dieses Seminars ist, diese Flächen mittels Methoden der algebraischen Topologie und der Funktionentheorie zu verstehen. Dazu werden Konzepte der algebraischen Topologie wie Garben, Differentialformen, Kohomologie etc. eingeführt. Angewandt auf Riemannsche Flächen erlauben uns diese den fundamentalen Satz von Riemann-Roch herzuleiten. Weitere Themen sind die Serre-Dualität, die Riemann-Hurwitz-Formel, und der Satz von Abel. Die meisten dieser Methoden und Resultate haben eine Verallgemeinerung auf komplexe Mannigfaltigkeiten höherer Dimension. Das Seminar kann daher als Einstieg in die komplexe Geometrie dienen.

Einen anderen interessanten Blick auf das Thema der Riemannschen Flächen liefert die Vorlesung Funktionentheorie II (bei Dr. U. Ludwig). Die beiden Veranstaltungen können gerne parallel zueinander besucht werden, da sich der behandelte Stoff ergänzt. Sie sind voneinander aber unabhängig und können daher auch einzeln besucht werden.

Literatur:

1.)

O. Forster, Riemannsche Flächen, Springer, 1977