4.13 Optimale Steuerung partieller Differentialgleichungen

Inhalt:
In diesem Seminar wird die optimale Steuerung partieller Differentialgleichungen behandelt, wobei nur die Grundkenntnisse aus der Analysis vorausgesetzt werden.

Viele Probleme aus Naturwissenschaft und Technik werden durch partielle Differentialgleichungen (PDEs) modelliert. Beispiele hierfür sind etwa:

1. Strömungen von Fluiden (Navier-Stokes-Gleichungen)
2. Temperaturverteilung in Raum und Zeit (Wärmeleitgleichung)
3. Ausbreitung von elektromagnetischen Feldern (Maxwell’schen Gleichungen)

Da man PDEs nur in sehr seltenen Fällen direkt lösen kann, müssen numerische Simulationen eingesetzt werden, um die Struktur der Lösung zu untersuchen. Häufig ist man allerdings nicht nur daran interessiert, derartige Prozesse zu simulieren, sondern durch die Steuerung bestimmter äusserer Einflüsse, soll eine „optimale“ Konfiguration erreicht werden. Beispielsweise ist man daran interessiert,

1. den Strömungswiderstand eines Flugzeugs zu reduzieren,
2. einen Raum möglichst gleichmäßig aufzuheizen,
3. die elektromagnetische Strahlung technischer Geräte zu minimieren,
4. den Energieverbrauch eines Autos beim Befahren einer bestimmten Strecke zu minimieren.

Mathematisch gesehen führen diese Aufgaben auf Optimalsteuerprobleme mit partiellen Differentialgleichungen, wobei zusätzlich zur Lösung (etwa der Wärmeverteilung) auch eine optimale Steuerung der Parameter bestimmt werden soll, welche zur Minimierung der Kosten (etwa der Energiezufuhr) führt.

Ziel dieses Seminars ist es die mathematischen Grundlagen von Optimierungsproblemen und die Entwicklung von Algorithmen zu deren Lösung zu erarbeiten. Kenntnisse zu partiellen Differentialgleichungen werden dabei nicht vorausgesetzt. Die Teilnahme an der Vorlesung „Theorie und Numerik für partielle Differentialgleichungen“ ist Voraussetzung.