4.6 Gute Parametrisierungen

Inhalt:
Es ist charakteristisch, dass geometrische Eigenschaften von Flächen, Metriken oder Zusammenhängen unter beliebigen Umparametrisierungen invariant sind. Dies steht dem Wunsch entgegen, Konvergenz- und Kompaktheitsaussagen für Folgen dieser geometrischen Objekte zu haben. Im Seminar geht es um die Wahl guter Parametrisierungen, in denen geeignete a priori Abschätzungen möglich sind. Im einzelnen behandeln wir konforme Koordinaten sowie Graphendarstellungen von Flächen, harmonische Koordinaten bezüglich einer Riemannschen Metrik sowie die Coulombeichung von Zusammenhängen auf Vektorbündeln. Es sollen auch Anwendungen dieser Parametrisoierungen auf elliptische oder parabolische Probleme besprochen werden, etwa bei Minimalflächen und Willmoreflächen, Yang-Mills-Zusammenhängen sowie beim Ricci-Fluss.

Die benötigten Vorkenntnisse in Differentialgeometrie hängen vom Thema ab. Weitere Literatur wird in der Vorbesprechung genannt.

Literatur:

1. Deturck, D., Kazdan, J., Some regularity theorems in Riemannian geometry, Annales Sci. ENS 14 (1981), 249–260.
2. Uhlenbeck, K., Connections with L^p bounds on curvature, Comm. Math. Phys. 83 (1982), 31–42
3. Müller, S., Šverák, V., On surfaces of finite total curvature, J. Differential Geometry, 42 (1995)