4.2 Zahlentheorie

Inhalt:
In diesem Zahlentheorie-Seminar lernen wir das wichtigste Beispiel des Lokal-Global-Prinzips kennen (auch als Hasse-Prinzip bekannt): Ob eine quadratische Gleichung in mehreren Variablen nicht-triviale Lösungen über den rationalen Zahlen (einem globalen Körper) hat, hängt nach einem Satz von Hasse von der einfacheren Frage nach ihrer Lösbarkeit über den reellen und allen p-adischen Zahlen (lokalen Körpern) ab. Zum Beweis benötigen wir unter anderem den Satz von Dirichlet über Primzahlen in arithmetischen Folgen.

Im ersten Teil des Seminars spielen algebraische Methoden die wichtigste Rolle, beginnend mit der Definition von p-adischen Zahlen. Für diese Vorträge sind also Vorkenntnisse aus einer Vorlesung über Algebra oder Zahlentheorie hilfreich. Für den zweiten Teil, der den Beweis des Satzes von Dirichlet umfasst, sind dagegen analytische Methoden entscheidend. Diese Vorträge eignen sich besonders für Studierende, die an einer Vorlesung über Funktionentheorie teilgenommen haben.

Literatur:

1. J.-P. Serre, A Course in Arithmetic, 5. Aufl., Springer 1996.