1.8 Geometrische Maßtheorie

Inhalt:

Die Bestimmung einer kleinsten Fläche mit gegebener Berandung ist ein klassisches geometrisches Problem. Auch in der Physik von Trennflächen spielen Oberflächenterme eine zentrale Rolle. Die Geometrische Maßtheorie bietet einen Zugang zu solchen Variationsproblemen, indem sie den Begriff der Untermannigfaltigkeit durch maßtheoretische Konzepte (varifold, current) verallgemeinert. Damit können auch Flächen mit Singularitäten erfasst werden, wie sie in der Geometrie und Physik oft auftreten. Noch wichtiger ist aber, daß sich die Optimierungsprobleme aufgrund geeigneter Kompaktheitssätze in der Tat lösen lassen. Die Vorlesung geht nach dem Buch von L. Simon vor, und wird sich nach den Grundlagen auf varifolds konzentrieren. Hauptziel ist der Regularitätssatz von Allard.

Die Vorlesung ist geeignet für Studierende, die eine Spezialisierung im Bereich der Analysis oder Geometrie beabsichtigen.

Literatur:

1. Simon, L.: Lectures on Geometric Measure Theory, Proceedings Centre Mathematical
   Analysis, Australian National University 3, Canberra 1983.
2. Morgan, F.: Geometric Measure Theory (A Beginner’s Guide), Third edition, Academic Press, San Diego, CA, 2000.
3. Evans, L. C. & Gariepy, R. Measure theory and fine properties of functions, CRC Press, Boca Raton, Fl, 1992.