1.14 Analysis auf Mannigfaltigkeiten

Inhalt:

In dieser Vorlesung werden wir Analysis auf regulären und singulären Riemannschen Mannigfaltigkeiten betreiben. Wir beschäftigen uns zuerst mit der Frage, ob bestimmte klassische Ergebnisse, die für Ω ⊂ Rⁿ gelten, auch für Mannigfaltigkeiten gelten. Zum Beispiel wird eine Sobolev-Ungleichung auf einer Mannigfaltigkeit bewiesen. Wichtig ist es auch zu verstehen, von welchen geometrischen Größen diese neue Ungleichungen abhängig sind. Zum Beispiel wird unsere Sobolev-Ungleichung von den Riemannschen Krümmung und dem Injektivitätsradius abhänig sein. Eine Einfhrung in der Theorie von “Mannigfaltigkeiten mit Ricci-(Schnitt-) Krümmung von unten beschränkt” wird gegeben, um diese und die nachkommenden Fragen besser beantworten zu können. Mit den Hilfsmitteln, die oben beschrieben sind, werden wir metrische Räume (X,d) untersuchen, die sich als der Gromov-Hausdorff-Limes von glatten Riemannschen Mannigfaltigkeiten (M_i,g_i) mit Ricci(g_i) ≥-c (sec(g_i) ≥-c) schreiben lassen. Wenn es die Zeit erlaubt, werden wir die Arbeiten 5 und 6 genauer betrachten.

Literatur:

1. Nonlinear Analysis on Manifolds: Sobolev Spaces and Inequalities, Emanuel Hebey, Courant Lecture Notes (CIMS) 1999
2. Lectures on Differential Geometry, R.Schoen, S.-T.Yau, International Press, 1994
3. A Course on Metric Geometry, D.Burago, Y.Burago, S.Ivanov, Graduate Studies in Math, AMS, 2001
4. Ricci Curvature and Volume Convergence, T.H. Colding, Annals of Mathematics, 2nd Ser. Vol. 145, No.3, pp. 477-501
5. On the Structure of Spaces with Ricci Curvature Bounded From Below I, J.Cheeger, T.Colding, Journal of Diff. Geometry, 45, 1997, 406-480 (kann man leicht im Internet finden und downLoaden)
6. J.Cheeger, D.Ebin, Comparison Theorems in Riemannian Geometry. North Holland, 1975.: kann man von mir kopieren