1.13 Einführung in die additive Zahlentheorie

Inhalt:

Additive Zahlentheorie ist das Studium von Summen von Mengen ganzer Zahlen. Hier stellt man die Frage nach der Darstellbarkeit natürlicher Zahlen als Summe von Quadratzahlen, Kuben, Potenzen, Primzahlen usw. Historischer Ausgangspunkt dieser Untersuchungen ist der Satz über pythagoräische Tripel, der bekannte Vier-Quadrate-Satz von Lagrange und der Eulersche Zwei-Quadrate-Satz, sowie die Beiträge von Fermat.

In dieser Vorlesung untersuchen wir weitere klassische Probleme der additiven Zahlentheorie. Dabei lernen wir die gängigen analytischen und kombinatorischen Werkzeuge kennen, insbesondere die Hardy-Littlewoodsche Kreismethode und Siebmethoden. Einige Hilfsmittel, die Ergebnisse aus der analytischen Zahlentheorie sind – etwa der Primzahlsatz und der Dirichletsche Primzahlsatz in arithmetischen Progressionen samt Verfeinerungen, werden ebenfalls herangezogen.

Wir behandeln den Drei-Quadrate-Satz, Warings Problem und den Satz von Waring-Hilbert, die Goldbachsche Vermutung und den Satz von Vinogradov, weiter einige Varianten des Waring-Goldbach-Problems, und bringen schließlich einen Überblick über den Beweis des Satzes von Chen.

Zum Verständnis der Vorlesung genügen die erworbenen Kenntnisse aus den Grundvorlesungen und der elementaren Zahlentheorie. Bei Bedarf werden auch Übungen organisiert.

Literatur:

1. Melvyn B. Nathanson: Additive Number Theory – The Classical Bases. Graduate Texts in Mathematics 164, Springer 1996.
2. A.V. Kumchev, D.I. Tolev: An Invitation to Additive Prime Number Theory. Serdica Math. J. 31 (2005), no. 1-2, 1–74.