4.10 Numerik für konvektionsdominante Differentialgleichungen

Inhalt:

Konvektions- oder transportdominante Probleme sind dadurch charakterisiert, dass bei gleichzeitigem Auftreten von Diffusion und Transport der Transport (oder die Konvektion) gegenüber der Diffusion dominant ist. Diffusion wird in der mathematischen Modellierung durch Ableitungsoperatoren zweiter Ordnung und Transport durch Ableitungsoperatoren erster Ordnung berücksichtigt.

Diffusionsprobleme (stationäre) wurden der Gegenstand meiner Vorlesung im Wintersemester 2005/06, Transportprobleme stehen im Mittelpunkt der Vorlesungen im Sommersemester 2006 und WS 2006/07 über Theorie und Numerik für Partielle Differentialgleichungen. Damit ist dieses Seminar eine Ergänzung und Vertiefung des Stoffes aus dem Vorlesungskanon über Theorie und Numerik für partielle Differentialgleichungen.

Konvektionsdominante Probleme nehmen insofern eine Sonderstellung ein, als sie dieselbe Regularität besitzen wie die elliptischen Probleme, aber aufgrund des Auftretens von steilen Gradienten oder Grenzschichten große numerische Probleme aufweisen, ähnlich wie bei den reinen Transportgleichungen.

In diesem Seminar wollen wir, ausgehend von eindimensionalen bis hin zu mehrdimensionalen Problemen, einige moderne numerische Verfahren besprechen. Da hier besondere Stabilisierungstechniken erforderlich sind, erweisen sich reine Finite-Elemente-Verfahren als ungeeignet. Finite-Volumen-Verfahren und Verallgemeinerungen auf höhere Ordnung haben sich als vorteilhafter erwiesen. Eine besondere Herausforderung stellen die Randwertprobleme, insbesondere im Zusammenhang mit entarteter Diffusion, dar.