4.9 Geometrische Differentialgleichungen

Inhalt:

Dieses Seminar richtet sich an Studierende, die sowohl an der Analysis/Geometrie als auch an der Numerik interessiert sind. Wir werden uns vor allem mit einem Problem vierter Ordnung befassen, das sowohl theoretisch als auch praktisch von Interesse ist. Die Biegeenergie einer Fläche Γ, Willmore-Funktional genannt, ist ∫ _ΓH², wobei H die mittlere Krümmung der Fläche bezeichnet. Von besonderem Interesse ist der erst in den letzten Jahren analytisch untersuchte Willmorefluss. Das ist die Methode des steilsten Abstiegs zum Willmore-Funktional. Schon bei Kurven und erst recht bei Flächen ist die Bewegung während dieser Minimierung der elastischen Energie spannend und mathematisch äußerst interessant; auch ist dieser Fluss auch für zahlreiche Anwendungen (Physik, Bildverarbeitung) von besonderem Interesse.

Die Grundbegriffe aus der Differentialgeometrie und der geometrischen Analysis werden während des Seminars bereitgestellt bzw. wiederholt. Danach werden wir Eigenschaften des Energiefunktionals für Flächen herleiten. Schließlich sollen die analytischen Resultate so aufbereitet werden, dass sie sich zur numerischen Simulation des Willmore-Flusses eignen.

Bei Interesse können auch praktische Vorträge vergeben werden. Dazu sind Vorkenntnisse bei der Anwendung der Finite-Elemente-Methode notwendig.

Dieses Seminar kann zu Diplom- oder Staatsexamensarbeiten führen.

Literatur:

1. Computation of geometric partial differential equations and mean curvature flow (K. Deckelnick, G. Dziuk, C. M. Elliott). Acta Numerica (2005), 139–232.