4.6 Modelltheorie

Inhalt:

In diesem Seminar wird es um streng minimale Strukturen gehen. Dies sind unendliche Strukturen, in denen jede definierbare Menge entweder endlich oder ko-endlich ist. Beispiele sind Vektorräume und algebraisch abgeschlossene Körper. Die lineare bzw. algebraische Unabhängigkeit in diesen Beispielen kann man zu einem Unabhängigkeitsbegriff in beliebigen streng minimalen Strukturen verallgemeinern und kann daraus eine reichhaltige Strukturtheorie entwickeln. Als eine Anwendung erhält man zum Beispiel, daß die Gruppe der Automorphismen der komplexen Zahlen, welche die algebraischen Zahlen punktweise fixieren, einfach ist.

Da die streng minimalen in gewisser Weise die einfachsten modelltheoretische Strukturen sind, kann man ihre Theorie in recht elementarer Weise, ohne weitgehende modelltheoretische oder gar stabilitätstheoretische Kenntnisse, entwickeln. Dazu wird den Teilnehmern rechtzeitig ein Kurzskript zur Verfügung gestellt werden. Gegen Ende des Seminars soll es dann um unimodulare streng minimale Strukturen gehen. Dies ist eine kombinatorische Eigenschaft, welche impliziert, daß sich eine streng minimale Struktur wie ein Vektorraum verhält.

Literatur:

1. Kurzskript „Streng minimale Mengen“ (im Entstehen)
2. Martin Ziegler, Vorlesungsskript „Modelltheorie I“
3. E. Hrushovski, Unimodular minimal structures, J. London Math. Soc 46 (1992)