3.2 Flächen

Inhalt:

In diesem Proseminar geht es vor allem um Flächen, wie etwas die Kugel, den Torus oder die Kleinsche Flasche. Es gliedert sich in drei Teile: elementare Topologie, Klassifikation geschlossener Flächen, sowie Fundamentalgruppen.

Im ersten Teil vertiefen wir unsere topologischen Grundbegriffe aus den Analysis-Vorlesungen. Dabei konzentrieren wir uns auf topologische Mannigfaltigkeiten, wie sie auch in vielen Bereichen der Geometrie und Topologie eine große Rolle spielen. Wir lernen einige wichtige Eigenschaften dieser Räume kennen, und eine Reihe elementarer Konstruktionen.

Im zweiten Teil klassifizieren wir alle kompakten zusammenhängenden Flächen ohne Rand. Wir nehmen dazu nur an, dass die Flächen sich aus Dreiecken zusammensetzen lassen, und zeigen, dass jede Fläche zu einer von zwei abzählbaren Familien gehört, die wir anschaulich konstruieren können.

Im dritten Teil führen wir die Fundamentalgruppe eines topologischen Raumes ein. Wir können die Fundamentalgruppe der kompakten Flächen angeben, und zeigen mit ihrer Hilfe, dass alle oben konstruierten Flächen paarweise nicht homöomorph sind.

Literatur:

1. John M. Lee; Introduction to Topological Manifolds, Springer GTM202, 2000
2. K. Jänich, Topologie, 7.Auflage, Springer, 2001