1.13 Morsetheorie

Inhalt:

Morse Theorie ist ein zentrales Gebiet der Differentialgeometrie, mit Verbindungen zu Analysis und Topologie. In neuester Zeit, beginnend mit den Arbeiten von Witten und Floer, hat sich Morsetheorie auch für die theoretische Physik (Eichtheorie, Feldtheorie) als fruchtbar erwiesen.

Die Grundidee der Morsetheorie ist in wenigen Worten zu erklären: Sei X eine kompakte Mannigfaltigkeit und f : X → R eine glatte Funktion. Mit Hilfe der Morsetheorie kann eine Verbindung hergestellt werden zwischen lokalen Daten (den kritischen Punkten) der Funktion f und globalen Daten (der Topologie) der Mannigfaltigkeit X.

Seit ihrer Einführung durch Marston Morse 1924 hat Morsetheorie für die Entwicklung einiger mathematischer Gebiete eine entscheidende Rolle gespielt, u.a in Bott’s Arbeiten zur Homologie und Homotopie kompakter symmetrischer Räume (50er Jahre), dem Beweis der Poincaré Vermutung in Dimension > 4 (60er), dem Beweis der Existenz von geschlossenen Geodätischen auf kompakten Mannigfaltigkeiten.

Ziel der Vorlesung ist es, eine Einführung und Übersicht zum Thema Morsetheorie zu geben. In einem ersten Teil werden die klassischen Elemente vorgestellt (wir werden dem Buch von Milnor [1] folgen). Weitere Themen werden sein: Morse-Homologie (siehe [2], [3]), Verallgemeinerung auf unendlich-dimensionale Räume (siehe [4]), einige Anwendungen der Morsetheorie, die Witten-Methode zum Beweis der Morse-Ungleichungen (siehe [W]).

Literatur:

1. J.Milnor, Morse Theory, Princeton University Press, 1963.
2. J.Milnor, Lectures on the h-Cobordism Theorem, 1965.
3. M.Schwarz, Morse Homology, Birkhäuser, 1993.
4. K-C Chang, Infinite Dimensional Morse Theroy ans Multiple Solution Problems, Birkhäuser, 1993.
5. M. Witten, Supersymmetry and Morse theory, Journal of Differential Geometry, 1982.