12.3 Bäume

Inhalt:
Bäume sind Graphen, die keine Schleifen enthalten. Wenn eine Gruppe auf einem Baum operiert, kann man aus der Kombinatorik der Operation Aussagen über die Struktur der Gruppe ableiten. Das ist der eindimensionale Anfang der geometrischen Gruppentheorie. Im Seminar soll es genau um dieses Zusammenspiel von Algebra und Geometrie gehen: Was können wir über Gruppen sagen, die auf Bäumen operieren? Die Theorie hat viele interessante Konsequenzen, zum Beispiel sind Untergruppen von freien Gruppen immer frei.

Das Seminar wird sich weitgehend am Buch von Serre [1] orientieren. Als Beispiele der Theorie werden wir die Bianchi-Gruppen PSL₂ betrachten, die im Buch von Fine [2] behandelt werden. Eventuell wird am Ende des Seminars ein Ausblick auf den zwei-dimensionalen Fall, die Theorie von Dreiecken von Gruppen [3], gegeben.

Bei Überbelegung werden in diesem Seminar Lehramtsstudierende bevorzugt werden.

Literatur:

1.)

J.-P. Serre. Trees. Springer, 1980.

2.)

B. Fine. Algebraic theory of the Bianchi groups. Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics 129. Marcel Dekker, 1989.

3.)

J. R. Stallings. Non-positively curved triangles of groups. In: Group theory from a geometrical viewpoint (Trieste, 1990), 491–503, World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1991.