8.3 Kommutative Algebra und Einführung in die algebraische Geometrie

Inhalt:
Es handelt sich um eine neukonzipierte Grundvorlesung, die in Zukunft regelmäßig gelesen werden soll. Vorausgesetzt wird lineare Algebra, jedoch nicht der Stoff der Vorlesung Algebra und Zahlentheorie. Andererseits wird bei den weiterführenden Veranstaltungen zu algebraischen Themen (algebraische Geometrie, Zahlentheorie, Darstellungstheorie...) der Inhalt der kommutativen Algebra vorausgesetzt werden. Daher empfehlen wir die Teilnahme auch Hauptstudiumsstudierenden, die eine Spezialisierung in diese Richtung planen, aber nur Teile des Stoffs dieser Vorlesung schon kennen.

Zum Inhalt: Kommutative Algebra ist eine allgemeinere Version der linearen Algebra über kommutativen Ringen statt über Körpern. Der Begriff des Moduls ersetzt den des Vektorraums. Auch weite Teile von Geometrie und Analysis verwenden diese Konzepte oder Variationen. Hauptanwendungsgebiet sind jedoch Zahlentheorie und algebraische Geometrie. Wir werden die formale Theorie daher mit einem der wichtigsten Anwendungsfälle kombinieren und gleichzeitig die Grundlagen der algebraischen Geometrie erarbeiten.

Algebraische Varietäten sind Teilmengen von kⁿ (dabei k ein zunächst algebraisch abgeschlossener Körper), die durch Polynomgleichungen mit Koeffizienten in k definiert werden. Dies sind geometrische Objekte, für k = C sogar analytische. Wir studieren sie mit algebraischen Methoden. Die Theorie der affinen Varietäten entspricht der Theorie der Ideale in Polynomringen mit endlich vielen Variablen. Damit ist der Bogen zur kommutativen Algebra gespannt. Ziel der Veranstaltung ist der Beweis (einer Verallgemeinerung) des Satzes von Bézout zum Schnittverhalten von algebraischen Varietäten.

Literatur:

1. Atiyah, MacDonald: Introduction to commutative algebra
2. Mumford: The red book of varieties and schemes
3. Shafarevich: Basic algebraic geometry