1.15 Nichtlineare Funktionalanalysis

Inhalt:

Diese Vorlesung setzt die Vorlesung „Funktionalanalysis“ aus dem Wintersemester fort. In der „Nichtlinearen Funktionalanalysis“ geht es um die Lösung nichtlinearer Gleichungen in unendlichdimensionalen Räumen. Das wichtigste Werkzeug ist hierbei der Abbildungsgrad.

Nach einer Einführung in die Analysis auf Banachräumen werden wir uns mit dem Brouwerschen Abbildungsgrad befassen. Daraus resultiert der Brouwersche Fixpunktsatz. Eine schöne Anwendung dieser Theorie sind die monotonen Operatoren. Danach wird der Abbildungsgrad von Leray und Schauder eingeführt, der auf den Schauderschen Fixpunktsatz führt.

Ein weiteres Kapitel der Vorlesung betrifft sogenannte Gradientenoperatoren, wie sie in der Variationsrechnung vorkommen.

Hängt eine nichtlineare Gleichung von einem Parameter ab, so kann man untersuchen, wie die Anzahl und die Eigenschaften von Lösungen von ihm abhängen. Dies nennt man Verzweigungstheorie.

Literatur:

1. M. S. Berger: Nonlinearity and Functional Analysis (1977)
2. K. Deimling: Nonlinear Functional Analysis (1985)
3. E. Zeidler: Nonlinear Functional Analysis and Applications I – IV (1992)