1.10 Nichtstandardanalysis

Inhalt:

Beim Aufbau der Differentialrechnung arbeitete etwa Leibniz mit infinitesimalen, d.h. unendlich kleinen Zahlen, die es in , dem üblichen “Modell der Zahlengeraden” nicht gibt. Im 19. Jahrhundert wurden diese infinitesimalen Größen durch die Präzisierung von Grenzwertprozessen mit der ϵ-δ-Technik aus der Mathematik vertrieben.

1960 bemerkte A. Robinson, dass der Bereich der reellen Zahlen zu einem Bereich ^* erweitert werden kann, in dem man wie in rechnen kann, der infinitesimale Größen und unendlich große natürliche Zahlen enthält und in dem die Definitionen und Argumentationen von Leibniz eine präzise Bedeutung erhalten. Da diese Definitionen und Redewendungen unserer anschaulichen Vorstellung (der Begriffe der Konvergenz, Stetigkeit, …) entsprechen, führt der Aufbau der Analysis in ^* zu einem tieferen Verständnis und ist zugleich (etwa für Lehrer/Lehrerinnen) eine Quelle für anschauliche, aber präzisierbare Formulierungen und Argumentationen. “Non-standard analysis frequently simplifies substantially the proofs, not only of elementary theorems, but also of deep results” (Kurt Gödel).

Einen ersten Eindruck über die Tragweite von Nichtstandardmethoden vermitteln die Bücher (1) und (2).

Literatur:

1. Albeverio, S. et al.: Nonstandard Methods in Stochastic Analysis and Mathematical Physics.
2. Robinson, A.: Non-Standard Analysis.