1.1 Elementare Differentialgeometrie

Inhalt:

In dieser Vorlesung behandeln wir grundlegende Aspekte der Geometrie, vor allem der Differentialgeometrie im euklidischen Raum. Die meisten Sachverhalte sind anschaulich vorstellbar. Elementare Differentialgeometrie ist Ausgangspunkt mancher geometrisch-analytischer Fragestellungen wie etwa Minimalflächen, und spielt auch eine Rolle beim Verständnis der Newtonschen Mechanik. Gleichzeitig ist diese Veranstaltung eine gute erste Einführung in den Studienschwerpunkt Geometrie und Topologie.

Wir beginnen mir einem Überblick über euklidische, sphärische und hyperbolische Geometrie. Dabei lernen wir sowohl axiomatische Beschreibungen als auch konkrete Modelle kennen, mit deren Hilfe wir beispielsweise Dreieckssätze beweisen können.

Im nächsten Abschnitt behandeln wir Kurven in der euklidischen Ebene und im Raum. Wir lernen Begriffe wie Krümmung und Torsion kennen und beweisen unter anderem den Hopfschen Umlaufsatz.

Für Flächen im Raum definieren wir erste und zweite Fundamentalform und leiten daraus verschiedene Krümmungsbegriffe ab. Zum Schluss beweisen wir den Satz von Gauß-Bonnet, der einen Zusammenhang zwischen der lokalen geometrischen und der globalen topologischen Gestalt einer Fläche herstellt.