Eigenschaften der J-Hierarchie und L[E]
Mittwoch, 25.10.17, 16:15-17:15, Raum 404, Eckerstr. 1
Die J-Hierarchie ermöglicht eine alternative Konstruktion des\nkonstruktiblen Universums L und erlaubt es, für jede Klasse E ein Universum\nL[E] zu konstruieren, das - wie L - ein Modell von ZFC ist. In diesem\nVortrag werden wir L[E] und die J-Hierarchie untersuchen. Dabei werden wir\nauch sehen, dass L[E] mit der Forcingerweiterung von L bezüglich E\nübereinstimmt, falls die Menge E ein generischer Filter ist.\n\n
\(\bkappa\)-trees and the sup game
Mittwoch, 8.11.17, 16:15-17:15, Raum 404, Eckerstr. 1
We use the so-called sup game to obtain some results about\nthe relationships between dominating \(\bkappa\)-sequences and Cohen\n\(\bkappa\)-sequences. In particular, we improve a couple of results\nconcerning the amoeba for \(\bkappa\)-Sacks forcing and \(\bkappa\)-Laver forcing\nthat I presented in some previous seminar-talk.\n
Praesentation der Masterarbeit
Mittwoch, 15.11.17, 16:15-17:15, Raum 404, Eckerstr. 1
Lokal modulare additive Redukte von den komplexen Zahlen
Mittwoch, 15.11.17, 16:15-17:15, Raum 404, Eckerstr. 1
Vektorräume sind modulare Strukturen, denn es gilt die Dimensionsformel. Diesen Begriff der Modularität können wir auf streng minimale Strukturen verallgemeinern, indem wir mit dem algebraischen Abschluss und dem dadurch gegebenen Dimensionsbegriff arbeiten. Eine streng minimale Struktur ist lokal modular (oder monobasiert), wenn die Dimensionsformel für alle endlich erzeugten algebraisch abgeschlossenen Mengen gilt, deren Durchschnitt positive Dimension hat.\nMarker und Pillay zeigten im Jahre 1990, dass in jedem nicht-monobasierten additiven Redukt der komplexen Zahlen die Muliplikation definierbar ist. Der Beweis erfolgt in zwei Teilen. Im ersten Teil wird mit Hilfe der Gruppenkonfiguration von Hrushovski ein unendlicher Körper im Redukt interpretiert. Wie man dann die ursprüngliche Multiplikation des Körpers im Redukt definieren kann, wird im zweiten Teil gezeigt. Im Vortrag wird der erste Teil des Beweises präsentiert und die Idee des zweiten Teils erklärt.
\(\bkappa\)-trees and the sup game, part 2
Mittwoch, 22.11.17, 16:00-17:00, Raum 404, Eckerstr. 1
This is the continuation of the talk of November 8, 2017.
Präsentation der Masterarbeit: Grunerts gerichteter Pseudoraum
Mittwoch, 29.11.17, 16:30-17:30, Raum 404, Eckerstr. 1
Grunerts gerichteter Pseudoraum
Mittwoch, 29.11.17, 16:30-17:30, Raum 404, Eckerstr. 1
In dem Vortrag werden wir \ndie Axiome des N-Pseudoraums und einige seiner Eigenschaften besprechen, \ndie Axiomatisierung des gerichteten Pseudoraums angeben, \nbesprechen, welche Eigenschaften einen 1-Typ über der leeren Menge eindeutig\nbestimmen, \nund die Unabhängigkeitsrelation besprechen.\n\n
tba
Mittwoch, 6.12.17, 16:30-17:30, Raum 404, Eckerstr. 1
Infinite Populations, Choice and Determinacy
Mittwoch, 6.12.17, 16:30-17:30, Raum 404, Eckerstr. 1
This talk criticizes non-constructive uses of set theory in formal economics. The main focus is on results on preference aggregation and Arrow's theorem for infinite electorates, but the present analysis would apply as well, e.g., to analogous results in intergenerational social choice. To separate justified and unjustified uses of infinite populations in social choice, I suggest a principle which may be called the "Hildenbrand criterion" and argue that results based on unrestricted Axiom of Choice (AC) do not meet this criterion. The technically novel part is a proposal to use a set-theoretic principle known as the Axiom of Determinacy (AD). A particularly appealing aspect of AD from the point of view of the research area in question is its game-theoretic flavor.\n
tba
Mittwoch, 13.12.17, 16:30-17:30, Raum 404, Eckerstr. 1
Forcing over ord-transitive models
Mittwoch, 13.12.17, 16:30-17:30, Raum 404, Eckerstr. 1
Usually forcing is performed over transitive countable ground models.\nHowever, there are technical means to waive transitivity. In this talk we\nshall focus on the algebraic features of suitable ground models. We explain\nord-transitive models, labelled models, the ord-collapse, and\ntheir relations to the Mostowski collapse.
Separabel abgeschlossene Körper sind äquational.
Mittwoch, 20.12.17, 16:30-17:30, Raum 404, Eckerstr. 1
Der Imperfektionsgrad eines Körpers \(K\) positiver Charakteristik \(p\) ist im Grunde die linear Dimension von \(K\) als \(K^p\)-Vektorraum. Der Körper \(K\) ist separabel abgeschlossen, falls er keine echte separable algebraische Erweiterung besitzt, wobei ein algebraisches Element \(\balpha\) über \(K\) separabel ist, wenn sein minimal Polynom keine doppelten Nullstellen (im algebraischen Abschluss) hat. \n\nDie Theorie separabel abgeschlossener Körper der Charakteristik \(p>0\) ist axiomatisierbar, und ihre Vervollständigungen werden durch den Imperfektionsgrad bestimmt. Insbesondere ist die Theorie separabel abgeschlossener Körper der Charakteristik \(p>0\) und unendlichen Imperfektionsgrades vollständig und stabil. Diese Theorie hat keine Elimination von Imaginären in der Ringsprache. \n\nIn Zusammenarbeit mit Martin Ziegler werden wir zeigen, dass diese Theorie äquational ist. Äquationalität ist eine Art lokaler Noetherianität und impliziert eine relative Elimination von Imaginären. Wir werden zeigen, dass gewisse Formeln Gleichungen in einem geeigneten Modell sind, nämlich in einem differentiell abgeschlossenen Körper der Charakteristik \(p\), dessen modelltheoretische Eigenschaften von Carol Wood beschrieben wurden.
Ein Färbungssatz
Mittwoch, 10.1.18, 16:30-17:30, Raum 404, Eckerstr. 1
Sei \(k \bgeq 1\) eine natürliche Zahl. Gowers' Satz über eine Partition der Menge der \(k\)-wertigen Blöcke in endlich viele Teile sagt, dass in einem Teil der Partition eine gegen die Tetrisoperation abgeschlossene Unterhalbgruppe liegt. Die partiell definierte Gruppenoperation auf den Blöcken ist die stellenweise Addition, die auf hintereinanderliegenden Blöcken mit der Konkatenation übereinstimmt. Wir verallgemeinern Gowers' Satz, indem wir den Grundraum auf Blocksequenzen, deren Projektionen auf \(\bomega\) aus bestimmten selektiven Koidealen über \(\bomega\) stammen, einschränken. Diese neue Variante führt dazu, dass es in Forcingserweiterungen durch Gowers-Matet-Forcing erweiterte Ramseyräume gibt. Der Vortag wird sich auf die Beweisschritte ohne Forcing konzentrieren. \n
Fortsetzung des Vortrags vom 10.1.2018 über Färbungen
Mittwoch, 17.1.18, 16:30-17:30, Raum 404, Eckerstr. 1
tba
Mittwoch, 24.1.18, 16:30-17:30, Raum 404, Eckerstr. 1
The dp-rank of an abelian group
Mittwoch, 24.1.18, 16:30-17:30, Raum 404, Eckerstr. 1
Abstract: Abelian groups form an archetypical example of stable groups. Their model theory is well-understood and in fact, distinct degrees of stability can be easily described for abelian groups in terms of the lattice of definable subgroups. For instance, an abelian group is omega-stable if and only if it satisfies the descending chain condition on definable subgroups.\n\nIn this talk, I will characterise the notion of dp-rank, which originates in Shelah's work on NIP theories, for abelian groups. Furthermore, I will explain how to compute it explicitly. This is joint work with Yatir Halevi.\n\n
tba
Mittwoch, 7.2.18, 16:30-17:30, Raum 404, Eckerstr. 1
Compactness and reflection in mathematics
Mittwoch, 7.2.18, 16:30-17:30, Raum 404, Eckerstr. 1
Abstract: One of the most fruitful research area in set theory is the study of the so-called reflections principles'. Roughly speaking, by reflection principle we mean a combinatorial statement of the following form: given a structure S (e.g. a stationary set, a tree, a graph, a groups ...) and a property P of the structure, the principle establishes that there exists a smaller substructure of S that satisfies the same property P. Compactness is dual to reflection, namely bycompactness property' we mean roughly a statement of the following form: given a structure S and a property P in the language of the structure, if every smaller substructure has the property P, then S satisfies P as well. \n\nMany interesting mathematical problems can be formulated as compactness problems; for instance, there is an extensive literature on the compactness problem for the property of being a free group: given a group G, suppose that every small subgroup (i.e. of smaller size) is free, is G itself free? This problem is independent from ZFC and the answer depends on the cardinality of the group. \n\nStrong forms of reflection are typically associated with large cardinals axioms, which therefore imply interesting compactness results. There is a tension between large cardinals axioms and the axiom of constructibility V=L at the level of reflection: on the one hand, large cardinals typically imply reflection properties, on the other hand L satisfies the square principles which are anti-reflection properties. Two particular cases of reflection received special attention, the reflection of stationary sets and the tree property. We will discuss the interactions between these principles and a version of the square due to Todorcevic. This is a joint work with Menachem Magidor and Yair Hayut. \n\n
Compactness and reflection
Mittwoch, 7.2.18, 17:30-18:30, Raum 404, Eckerstr. 1
tba