Lehrveranstaltungen

Inhalt:
Inhalt der Vorlesung Analysis III ist die Maß- und Integrationstheorie unter besonderer Berücksichtigung des Lebesgue-Maßes. Diese Theorien sind von besonderer Bedeutung für viele weiterführende Vorlesungen aus der Analysis, Angewandten Mathematik, Stochastik, Wahrscheinlichkeitstheorie und Geometrie wie auch der Physik. Themenschwerpunkte sind Maße und Integrale im ℝⁿ, Lebesgueräume, Konvergenzsätze, der Transformationssatz, Oberflächenintegrale und der Integralsatz von Gauss.

Literatur:

1.)

Heuser, H.: Lehrbuch der Analysis, Teil 2 (14. Aufl.), Vieweg + Teubner (2008)

2.)

Königsberger, K.: Analysis 2 (5. Aufl.), Springer (2004)

(Weitere Literatur wird innerhalb der Vorlesung angegeben werden.)____________________________________

Inhalt:
Diese Vorlesung setzt die Lineare Algebra fort. Behandelt werden Gruppen, Ringe, Körper sowie Anwendungen in der Zahlentheorie und Geometrie. Höhepunkte der Vorlesung sind die Klassifikation endlicher Körper, die Unmöglichkeit der Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal, die Nicht-Existenz von Lösungsformeln für allgemeine Gleichungen fünften Grades und das quadratische Reziprozitätsgesetz.

Literatur:

1.)

Michael Artin: Algebra, Birkhäuser (1998)

2.)

Siegfried Bosch: Algebra (8. Aufl.), Springer Spektrum (2013)

3.)

Serge Lang: Algebra (3. Aufl.), Springer (2002)

4.)

Wolfgang Soergel: Skript Algebra und Zahlentheorie

Inhalt:
Die algebraische Topologie untersucht topologische Räume mit algebraischen Methoden. Typische Fragen sind

• Gibt es (topologische) Räume mit den Eigenschaften …?
• Gibt es (stetige) Abbildungen von X nach Y mit den Eigenschaften …?
• Sind zwei gegebene Räume oder Abbildungen in einem gewissen Sinne „gleich“?

Methoden der algebraischen Topologie werden in vielen Bereichen der Mathematik, insbesondere in der Geometrie, eingesetzt.

In der Vorlesung betrachten wir als erstes die Fundamentalgruppe und höhere Homotopiegruppen. Als Anwendungen erhalten wir einige klassische Sätze, zum Beispiel den Brouwerschen Fixpunktsatz. Homotopiegruppen sind zwar sehr mächtige Invarianten, in der Praxis aber nicht einfach zu bestimmen.

Homologie- und Kohomologiegruppen sind mit Homotopiegruppen entfernt verwandt, lassen sich aber besser axiomatisch charakterisieren und leichter berechnen. Sie tragen zusätzliche Strukturen, zum Beispiel das Cup-Produkt auf der Kohomologie. Wir wollen diese Invarianten in einer Sprache beschreiben, die sich später auch für andere topologische Konstruktionen wie K-Theorie, stabile Homotopie und Kobordismus benutzen lässt.

Bei Interesse wird die Vorlesung im SS 2020 fortgesetzt. Wir werden dann unter anderem Poincaré-Dualität für topologische Mannigfaltigkeiten kennenlernen.

Literatur:

1.)

T. tom Dieck: Algebraic Topology, EMS Textbooks in Mathematics, EMS, Zürich, 2008.

2.)

A. Hatcher: Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002, http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html

Inhalt:
Die Differentialgeometrie untersucht geometrische Eigenschaften gekrümmter Räume mit Methoden der Differentialrechnung. Sie hat Anwendungen in anderen Bereichen der Mathematik und in der Physik, etwa in der theoretischen Mechanik und der Relativitätstheorie.

In der Vorlesung wird eine Einführung in die (Semi-)Riemannsche Geometrie gegeben. Hier werden insbesondere Geodätische und der Riemannsche Krümmungstensor im Mittelpunkt stehen.

Literatur:

1.)

Barrett O’Neill, Semi-Riemannian Geometry with Applications to Relativity, Academic Press, 1983

2.)

J.M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, Springer (GTM 218), 2003

3.)

M.P. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser, 1992

Inhalt:
Diese Vorlesung ist die erste eines Kurses von aufeinander aufbauenden Vorlesungen zur Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen.

Partielle Differentialgleichungen treten oft als Modelle für physikalische Vorgänge auf, z. B. bei der Bestimmung einer Temperaturverteilung, bei der Beschreibung von Schwingungen von Membranen oder Strömungen von Flüssigkeiten.

In dieser Vorlesung werden wir uns mit elliptischen Differentialgleichungen beschäftigen. Es wird sowohl die klassische Existenztheorie als auch die moderne Theorie zur Lösbarkeit solcher Gleichungen behandelt. Selbst wenn man für einfache Probleme explizite Lösungsformeln hat, können diese nur selten auch konkret berechnet werden. Deshalb ist es wichtig, numerisch approximative Lösungen zu berechnen und nachzuweisen, dass diese in geeigneter Weise gegen die exakte Lösung konvergieren. Dazu wird in der Vorlessung die entsprechende Theorie Finiter Elemente dargestellt.

Parallel zu der Vorlesung wird ein Praktikum (siehe Kommentar zum Praktikum) angeboten.

Literatur:

1.)

Evans, Partial Differential equations, AMS (1998).

2.)

Braess, Finite Elemente, Springer (1992).

3.)

Dziuk, Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen, De Gruyter (2010).

Inhalt:
Die klassische Funktionentheorie untersucht komplex differenzierbare Funktionen in einer Veränderlichen, die auf einer offenen Menge in der komplexen Ebene ℂ definiert sind. Man arbeitet auch häufig auf der Riemannschen Zahlenkugel, die aus ℂ durch Hinzufügung eines Punktes im Unendlichen entsteht, und man lässt isolierte Singularitäten zu. Als natürliche Verallgemeinerung ergibt sich nun die Untersuchung komplex differenzierbarer Funktionen auf offenen Teilmengen anderer, sogenannter Riemannscher Flächen, anstelle der Riemannschen Zahlenkugel. Die einfachsten Beispiele sind die elliptischen Kurven und die dazugehörigen doppelt periodischen Funktionen auf ℂ. Allgemeiner fügt man der oberen komplexen Halbebene geeignete Punkte hinzu und fordert von den holomorphen Funktionen ein spezielles Transformationsverhalten unter bestimmten Möbiustransformationen, um die sogenannten Modulformen zu definieren. Modulformen können dann als Bausteine für die Konstruktion holomorpher und meromorpher Funktionen auf Riemannschen Flächen angesehen werden. Die sogenannte Diskriminantenfunktion

Die Vorlesung gibt eine elementare Einführung in die Theorie der elliptischen Funktionen, der elliptischen Kurven und der Modulformen mit Blick auf den Zusammenhang zu kompakten Riemannsche Flächen im Allgemeinen.

Literatur:

1.)

J.H. Bruinier, G. v.d. Geer, G. Harder, D. Zagier, The 1-2-3 of Modular Forms, Springer 2008

2.)

F. Diamond, J. Shurman, A First Course in Modular Forms, Springer 2005

3.)

M. Eichler, D. Zagier, The Theory of Jacobi Forms, Birkhäuser 1985

4.)

N. Koblitz, Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms, Springer 1984

5.)

K. Lamotke, Riemannsche Flächen, Springer 2009

Inhalt:
Die Vorlesung Mathematische Statistik baut auf Grundkenntnissen aus der Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie auf. Das grundlegende Problem der Statistik ist, anhand einer Stichprobe von Beobachtungen möglichst präzise Aussagen über den datengenerierenden Prozess bzw. die den Daten zugrundeliegenden Verteilungen zu machen. Hierzu werden in der Vorlesung die wichtigsten Methoden aus der statistischen Entscheidungstheorie wie Test-und Schätzverfahren eingeführt. Stichworte hierzu sind u.a. Bayes-Schätzer und -Tests, Neyman-Pearson-Testtheorie, Maximum-Likelihood-Schätzer, UMVU-Schätzer, exponentielle Familien, lineare Modelle.

Weitere Themen sind Ordnungsprinzipien zur Reduktion der Komplexität der Modelle (Suffizienz und Invarianz). Sofern Zeit bleibt, sollen auch einige Verfahren zur Zeitreihenmodellierung und -Analyse (ARMA- und GARCH-Prozesse) näher vorgestellt und untersucht werden.

Literatur:

1.)

Brockwell, P.J., Davis, R.A.: Time Series: Theory and Mehods (Second Edition), Springer (1991)

2.)

Czado, C., Schmidt, T.: Mathematische Statistik, Springer (2011)

3.)

Rüschendorf, L.: Mathematische Statistik, Springer Spektrum (2014)

4.)

Schervish, M.J.: Theory of Statistics, Springer (1997)

5.)

Witting, H.: Mathematische Statistik I, Teubner (1985)

Inhalt:
In dieser Vorlesung werden die Grundlagen der geometrischen Modelltheorie behandelt. Grundbegriffe wie Quantorenelimination oder Kategorizität werden eingeführt. Eine Theorie hat Quantorenelimination, falls jede Formel äquivalent zu einer quantorenfreien Formel ist. Für die Theorie algebraisch abgeschlossener Körper einer festen Charakteristik ist dies dazu äquivalent, dass die Projektion einer Zariski-konstruktiblen Menge wiederum Zariski-konstruktibel ist.

Eine Theorie heiße ℵ₁-kategorisch, wenn alle Modelle der Mächtigkeit ℵ₁ isomorph sind. Ein typisches Beispiel ist die Theorie unendlich dimensionaler ℚ-Vektorräume. Das Ziel der Vorlesung ist es, die Sätze von Baldwin-Lachlan und von Morley zu verstehen, um ℵ₁-kategorische Theorien zu charakterisieren.

Literatur:

1.)

B. Poizat : Cours de théorie des modèles, (1985), Nur al-Mantiq wal-Ma’rifah.

2.)

K. Tent, M. Ziegler: A Course in Model Theory, (2012), Cambridge University Pres.

Inhalt:
Die Vorlesung schließt direkt an die Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie aus dem WS 2018/19 an.

Ein stochastischer Prozess (X_t)_t∈I ist nichts weiter als eine Familie von Zufallsvariablen, wobei etwa I = [0,∞) eine kontinuierliche Zeitmenge ist. Einfache Beispiele sind Irrfahrten, Markov-Ketten, die Brown’sche Bewegung oder davon abgeleitete Prozesse. Letztere spielen vor allem in der Modellierung von finanzmathematischen oder naturwissenschaftlichen Fragestellungen eine große Rolle.

Wir werden uns zunächst mit der reichhaltigen Klasse von Martingalen beschäftigen und die wichtigen Martingalkonvergenzsätze kennen lernen. Anschließend konstruieren wir die Brown’sche Bewegung und studieren ihre Pfadeigenschaften. Infinitesimale Charakteristiken eines Markov-Prozesses werden durch Generatoren beschrieben, was eine Verbindung zur Theorie von partiellen Differentialgleichungen ermöglicht. Abschließend kommt mit dem Ergodensatz für stationäre stochastische Prozesse eine Verallgemeinerung des Gesetzes der großen Zahlen zur Sprache.

Im Sommersemester 2020 wird diese Voranstaltung durch die Vorlesung Stochastische Analysis fortgeführt.

Literatur:

1.)

O. Kallenberg: Foundations of Modern Probability (Second Edition), Springer, 2002

2.)

A. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie (3. Aufl.), Springer Spektrum, 2013

3.)

D. Williams: Probability with Martingales (Cambridge Mathematical Textbooks), Cambridge University Press, 1991

Inhalt:
Sind Lösungen elliptischer partieller Differentialgleichungen nicht H²-regulär, so konvergieren Finite-Elemente-Methoden auf uniformen Triangulierungen nur mit reduzierter Geschwindigkeit. In der Vorlesung werden Konzepte diskutiert, um Triangulierungen lokal zu verfeinern und so eine bessere Auflösung von Eckensingularitäten zu erhalten. Dies kann einerseits auf Basis von a-priori-Informationen geschehen, das heißt es wird vorab entschieden, wo kleinere Netzweiten sinnvoll sind, oder es wird mit Hilfe von a-posteriori-Fehlerabschätzungen eine Folge von Gittern generiert, die kritische Bereiche automatisch identifiziert und entsprechend genauer auflöst. Neben diesen Aspekten werden iterative Verfahren zur effizienten Lösung der bei Finite-Elemente-Diskretisierungen auftretenden linearen Gleichungssysteme diskutiert. Unter Verwendung von Gitterhierarchien oder Gebietszerlegungen lässt sich dies häufig mit nahezu linearer Komplexität bewältigen.

Literatur:

1.)

S. Bartels: Numerical Approximation of Partial Differential Equations, Springer, 2016.

2.)

W. Hackbusch: Iterative Solution of Large Sparse Systems of Equations, Springer, 2016.

Inhalt:
Complex algebraic varieties are subsets of complex projective space CPⁿ defined by polynomial equations. These subsets are not manifolds in general, but the types of singularities that can arise in this algebraic context are not arbitrary. A fundamental problem in algebraic geometry is therefore to determine which types of singularities may arise and, more generally, which special topological properties are exhibited by complex varieties.

In this course, we will study methods first introduced by Solomon Lefschetz to explore topological properties of complex algebraic varieties. The key idea is to exploit the rigidity of polynomial equations to reduce questions about varieties in dimension n to questions about varieties of dimension n - 1. More precisely, Lefschetz pencils allow us to regard a complex algebraic manifold X of dimension n as a family of complex algebraic varieties X_t, t ∈ CP¹, of dimension n - 1 parametrized by a complex projective line. All but finitely many fibers X_t will be manifolds. It was Lefschetz’ beautiful insight that knowledge of these fibers and of how they vary with respect to t determines a great deal of topological data pertaining to X.

The essential tools to be applied in this course are complex analysis and algebraic topology. Familiarity with single-variable complex analysis will be assumed. The necessary techniques from algebraic topology, including singular homology and Poincaré duality, will be recalled.

Literatur:

1.)

L. Nicolaescu. An invitation to Morse theory. Springer, New York, 2nd ed., 2011.

2.)

K. Lamotke. The topology of complex projective varieties after S. Lefschetz. Topology, 20(1):15–51, 1981.

3.)

A. Hatcher. Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002.

4.)

P. Griffiths, J. Harris. Principles of algebraic geometry. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1994.

Inhalt:
Die Aufgabe der Wahrscheinlichkeitstheorie ist es, zufallsabhängige Vorgänge mathematisch zu beschreiben. Die Vorlesung ist eine systematische Einführung dieses Gebietes auf maßtheoretischer Grundlage.

Ziel der Vorlesung ist es, Methoden der stochastischen Modellbildung und Analyse zu entwickeln und einige der klassischen Grenzwertsätze herzuleiten. Vorkenntnisse aus der Vorlesung Analysis III sind hilfreich, jedoch nicht Voraussetzung.

Literatur:

1.)

Klenke, A.: Wahrscheinlichkeitstheorie (3. Aufl.), Springer Spektrum, 2013

2.)

Kallenberg, O.: Foundations of Modern Probability (Second Edition), Springer, 2002

3.)

Williams, D.: Probability with Martingales, Cambridge University Textbooks, 1991

4.)

Hesse, Ch.: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie, Springer Vieweg, 2003

Inhalt:
The aim of the course is to give an introduction into numerical methods for the solution of optimization problems in science and engineering. The focus is on continuous nonlinear optimization in finite dimensions, covering both convex and nonconvex problems. The course is accompanied by intensive computer exercises and divided into four major parts:

1.

Fundamental Concepts of Optimization : Definitions, Types, Convexity, Duality

2.

Unconstrained Optimization and Newton Type Algorithms : Stability of Solutions, Gradient and Conjugate Gradient, Exact Newton, QuasiNewton, BFGS and Limited Memory BFGS, and GaussNewton, Line Search and Trust Region Methods, Algorithmic Differentiation

3.

Equality Constrained Optimization Algorithms : Newton Lagrange and Generalized Gauss–Newton, Range and Null Space Methods, QuasiNewton and Adjoint Based Inexact Newton Methods

4.

Inequality Constrained Optimization Algorithms : KarushKuhnTucker Conditions, Linear and Quadratic Programming, Active Set Methods, Interior Point Methods, Sequential Quadratic and Convex Programming, Quadratic and Nonlinear Parametric Optimization

Please read up on the website of the department and/or HISinOne for further information.

The lecture is accompanied by intensive weekly computer exercises based on MATLAB (6 ECTS) and an optional project (3 ECTS). The project consists in the formulation and implementation of a self-chosen optimal control problem and numerical solution method, resulting in documented computer code, a project report, and a public presentation.

Literatur:

1.)

Manuscript Numerical Optimal Control by M. Diehl and S. Gros

2.)

Biegler, L. T., Nonlinear Programming, SIAM, 2010

3.)

Betts, J., Practical Methods for Optimal Control and Estimation Using Nonlinear Programming, SIAM, 2010

Inhalt:
This course covers an introduction to financial markets and products. Besides futures and standard put and call options of European and American type we also discuss interest-rate sensitive instruments such as swaps.

For the valuation of financial derivatives we first introduce financial models in discrete time as the Cox-Ross-Rubinstein model and explain basic principles of risk-neutral valuation. Finally, we will discuss the famous Black-Scholes model which represents a continuous time model for option pricing.

The course, which is taught in English, is offered for the first year in the Finance profile of the M.Sc. Economics program as well as for students of M.Sc. and B.Sc. Mathematics and M.Sc. Volkswirtschaftslehre.

For students who are currently in the B.Sc. Mathematics program, but plan to continue with the special profile Finanzmathematik within the M.Sc. Mathematics, it is recommended to credit this course for the latter profile and not for B.Sc. Mathematics.

Literatur:

1.)

Chance, D.M., Brooks, R.: An Introduction to Derivatives and Risk Management, (8nd ed.), South-Western, 2009

2.)

Hull, J.C.: Options, Futures, and other Derivatives (7th ed.), Prentice Hall, 2009

3.)

Shreve, S.E.: Stochastic Calculus for Finance I: The Binomial Asset Pricing Model, Springer Finance, 2005

4.)

Strong, R.A.: Derivatives. An Introduction, (2nd ed.), South-Western, 2004

Inhalt:
Diese zweistündige Vorlesung ist eine Einführung in den Riccifluss. Der Riccifluss ist ein geometrischer Fluss Riemannscher Mannigfaltigkeiten. Ein geometrischer Fluss deformiert ein gegebenes geometrisches Objekt durch einen geometrisch definierten Prozess. Dieser Prozess wird durch eine nichtlineare partielle Differentialgleichung beschrieben. Dadurch entsteht ein reiches Zusammenspiel zwischen Analysis und Geometrie.

Der Riccifluss ist dabei einer der am meisten untersuchten geometrischen Flüsse. Er ist ein nützliches und vielseitiges Werkzeug in der Riemannschen Geometrie und geometrischen Topologie. Besonders hervorzuheben ist Perelmans Lösung der Poincaré-Vermutung mithilfe des Ricciflusses.

In dieser Vorlesung soll insbesondere behandelt werden:

1) Die Definition des Ricciflusses und die Entwicklung geometrischer Größen

2) Konvergenz Riemannscher Mannigfaltigkeiten und Ricciflüssen

3) Uniformisierung von Flächen: Langzeitexistenz und Konvergenz des Ricciflusses auf
Flächen

Voraussetzung für das Verständnis der Vorlesung ist eine Vertrautheit mit differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Wünschenswert sind außerdem einige Kenntnisse der Grundlagen der Riemannschen Geometrie. Ergänzend zu dieser Vorlesung kann das Seminar über PDE belegt werden.

Literatur:

1.)

B. Chow, D. Knopf, The Ricci Flow: An Introduction. AMS, 2004

2.)

P. M. Topping, Lectures on the Ricci flow. Cambridge University Press, 2006

Inhalt:
Eine topologische Gruppe ist zugleich eine Gruppe und ein topologischer Raum. Man fordert, dass die Gruppenstruktur stetig bezüglich der Topologie ist. In der Algebra lernt man, dass man endliche Gruppen klassifizieren kann, indem man sie als Erweiterung

schreibt, wobei N ein Normalteiler und G∕N der entsprechende Quotient ist. Dies reduziert (mehr oder weniger) die Klassifikation auf die endlichen einfachen Gruppen, also jene, wo keine weitere solche Zerlegung mehr möglich ist.

Bei topologischen Gruppen geht man ganz analog vor. Nur diesmal sind unsere Gruppen meist ganz und gar nicht endlich, und statt beliebiger Normalteiler muss man sich auf abgeschlossene Normalteiler einschränken, damit auch der Quotient G∕N wieder eine vernünftige Topologie trägt. Ein Beispiel: Man beweist, dass die Zusammenhangskomponente des neutralen Elements der Gruppe, genannt G⁰, immer ein abgeschlossener Normalteiler sein muss. Man erhält daher immer eine Zerlegung

wobei G⁰ eine zusammenhängende Gruppe ist und G∕G⁰ eine “total unzusammenhängende” Gruppe. Daher könnte man sich für eine weitere Klassifikation auf diese zwei Arten von topologischen Gruppen einschränken.

Allerdings wird jede beliebige Gruppe, wenn man sie mit der diskreten Topologie versieht, eine topologische Gruppe, d.h. manchmal führt eine solche Reduktion nur auf ein Klassifikationsproblem, was bekanntermaßen hoffnunglos ist.

Wie Gromov schon sagte: Jede Aussage, die für alle abzählbaren Gruppen gilt, ist entweder trivial oder falsch.

Die Vorlesung beginnt erst in der zweiten Vorlesungswoche._______________________

Inhalt:
The course is primarily an introduction to infinitary combinatorics, one of the main tools in set theory and forcing method. More specifically during the course the following topics are introduced and analysed: Mad families, Martin’s axiom and its equivalent statements, Suslin problem, infinite trees, club filter, Diamond principles.

Moreover we are going to also give applications of this tools in measure theory and topology. The course is not meant to include an introduction to forcing method, but it provides a detailed study of the combinatorics machinery used in forcing theory, in order to give a robust basis for further studies in that direction as well.

Literatur:

1.)

T. Bartoszynski, H. Judah: Set Theory: On the Structure of the Real Line. AK Peters/CRC Press, Boca Raton, 1995.

2.)

K. Kunen: Set Theory: An introduction to independence proofs. North Holland, 1983.

Inhalt:
Bei diesem Modul handelt es sich um eine Begleitveranstaltung zu Tutoraten zu Mathematikvorlesungen. Teilnehmen können an dem Modul alle Studierenden in einem Bachelor- oder Master-Studiengang in Mathematik (einschließlich Zwei-Hauptfächer-Bachelor mit Mathematik als einem der beiden Fächer), die sich für das gleiche Semester erfolgreich um eine Tutoratsstelle zu einer Mathematikvorlesung beworben haben (mindestens eine zweistündige oder zwei einstündige Übungsgruppen über das ganze Semester, aber ohne Einschränkungen an die Vorlesung). Das Modul kann einmal im Bachelor-Studium und bis zu zweimal im Master-Studium absolviert werden und wird jeweils mit 3 ECTS-Punkten im Wahlmodulbereich (im Zwei-Hauptfächer-Bachelor: „Optionsbereich“) angerechnet. Es handelt sich um eine Studienleistung, d.h. das Modul wird nicht benotet.

Leistungsnachweis:

• Teilnahme an dem neu konzipierten Einführungsworkshop. Voraussichtlich etwa zwei halbe Tage; einen ungefähr in der ersten Vorlesungswoche und einen nach etwa vier Wochen. Näheres wird rechtzeitig bekanntgegeben.
• regelmäßige Teilnahme an der Tutorenbesprechung;
• zwei gegenseitige Tutoratsbesuche mit einem (oder mehreren) anderen Modulteilnehmer, welcher nach Möglichkeit die gleiche Vorlesung tutoriert, oder zwei Besuche durch den betreuenden Assistenten, und Austausch über die Erfahrungen (die Zuteilung der Paarungen erfolgt bei der Einführungsveranstaltung).

In Ermangelung eines passenden Wahlbereichs kann das Modul im Lehramtsstudiengang in dieser Form leider nicht angeboten werden. Im 2-Hauptfächer-Bachelor ist es bei Wahl der Lehramtsoption eine über die 180 geforderter ECTS-Punkte hinausgehende Zusatzleistung.__________________________________________________________________________________________________

Inhalt:
Der Einsatz von Unterrichtsmedien im Mathematikunterricht gewinnt sowohl auf der Ebene der Unterrichtsplanung wie auch der der Unterrichtsrealisierung an Bedeutung. Vor dem Hintergrund konstruktivistischer Lerntheorien zeigt sich, dass der reflektierte Einsatz unter anderem von Computerprogrammen die mathematische Begriffsbildung nachhaltig unterstützen kann. So erlaubt beispielsweise das Experimentieren mit Computerprogrammen mathematische Strukturen zu entdecken, ohne dass dies von einzelnen Routineoperationen (wie z. B. Termumformung) überdeckt würde. Es ergeben sich daraus tiefgreifende Konsequenzen für den Mathematikunterricht. Von daher setzt sich dieses Seminar zum Ziel, den Studierenden die notwendigen Entscheidungs- und Handlungskompetenzen zu vermitteln, um zukünftige Mathematiklehrer auf ihre berufliche Tätigkeit vorzubereiten. Ausgehend von ersten Überlegungen zur Unterrichtsplanung werden anschließend Computer und Tablets hinsichtlich ihres jeweiligen didaktischen Potentials untersucht und während eines Unterrichtsbesuchs mit Lernenden erprobt.

Die dabei exemplarisch vorgestellten Systeme sind:

• dynamische Geometrie Software: Geogebra
• Tabellenkalkulation: Excel
• Apps für Smartphones und Tablets

Die Studierenden sollen Unterrichtssequenzen ausarbeiten, die dann mit Schülern erprobt und reflektiert werden._____________________________________________________________________________________________

Inhalt:
In der praktischen Übung zur Numerik-Vorlesung werden die in der Vorlesung entwickelten und analysierten Algorithmen praktisch umgesetzt und getestet. Dies wird in der Programmiersprache C++ sowie mit Hilfe der kommerziellen Software MATLAB zur Lösung und Visualisierung mathematischer Probleme geschehen. Elementare Programmierkenntnisse werden vorausgesetzt.

Literatur:

1.)

S. Bartels: Numerik 3x9, Springer Spektrum, 2016.

2.)

P. Deuflhard, A. Hohmann, F. Bornemann: Numerische Mathematik 1, 2 (4./3. Aufl.) De Gruyter, 2003.

3.)

G. Hämmerlin, K.H. Hoffmann: Numerische Mathematik (4. Aufl.), Springer, 1990.

4.)

R. Plato: Numerische Mathematik kompakt (4. Aufl.), Springer Vieweg, 2010.

5.)

R. Schaback, H. Wendland: Numerische Mathematik (5. Aufl.), Springer, 2005.

6.)

J. Stoer, R. Bulirsch: Numerische Mathematik 1,2 (10./4. Aufl.), Springer 2010/2007.

Inhalt:
Die praktische Übung richtet sich an Hörerinnen und Hörer der Vorlesung Stochastik. Es werden computerbasierte Methoden diskutiert, die das Verständnis des Stoffes der Vorlesung vertiefen und weitere Anwendungsbeispiele aufzeigen sollen. Dazu wird das frei verfügbare Open-Source-Statistikprogramm R verwendet werden. Nach einer Einführung in R werden u.a. Verfahren der deskriptiven Statistik und graphischen Auswertung von Daten betrachtet, die numerische Erzeugung von Zufallszahlen erläutert sowie parametrische und nichtparametrische Tests und lineare Regressionsverfahren diskutiert. Vorkenntnisse in R und/oder Programmierkenntnisse werden dabei nicht vorausgesetzt.

Die praktische Übung ist für Studierende im (1-Hauptfach) B.Sc. Mathematik obligatorisch. Studierende des 2-Hauptfächer-Bachelors mit Lehramtsoption können selbstverständlich ebenfalls teilnehmen und die praktische Übung als Teil des Wahlpflichtmoduls Mathematik im Rahmen ihres Studiengangs verbuchen. Im Studiengang Master of Education kann die Veranstaltung als Mathematische Ergänzung belegt werden.

Für die eigene Arbeit mit R sollen die Laptops der Studierenden eingesetzt werden. Idealerweise sollte auf diesen bereits vor Beginn der Veranstaltung die dazu notwendige Software installiert werden. Genauere Anleitungen hierzu sowie entsprechende Links zum Download der kostenlosen Programme werden frühzeitig auf der o.g. Webseite bekannt gegeben.

Zu den einzelnen Lektionen der praktischen Übung wird ein ausführliches Skriptum bereitgestellt werden. Als ergänzende Lektüre für diejenigen, die ihre R-Kenntnisse festigen und erweitern möchten, kann eigentlich nahezu jedes der inzwischen zahlreich erhältlichen einführenden Bücher zu R empfohlen werden.______________________________________________________________________________________

Inhalt:
 
In den praktischen Übungen sollen die in der Vorlesung „Einführung in die Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen“ vorgestellten numerischen Verfahren zur Lösung partieller Differentialgleichungen implementiert werden. Anhand von expliziten Beispielen werden dadurch in der Vorlesung behandelte, Begriffe (z. B. Konsistenz, Konvergenz, Stabilität, Regularität,...) veranschaulicht. Ziel ist die Erstellung von Software zur Berechnung von Näherungslösungen elliptischer Differentialgleichungen mit Hilfe der Finite-Elemente-Methode. Dazu wird die kommerzielle Software MATLAB zur Lösung und Visualisierung mathematischer Probleme verwendet.

Elementare Programmierkenntnisse werden vorausgesetzt.

Studierenden, die vorhaben, in der Angewandten Mathematik eine Abschlussarbeit (Master-oder Bachelorarbeit) zu schreiben, wird die Teilnahme an den praktischen Übungen empfohlen.

Literatur:

1.)

D. Braess, Finite Elemente, Springer, Berlin (2007)

2.)

H. R. Schwarz, Methode der Finiten Elemente, Teubner, Stuttgart (1991)

3.)

G. Dziuk, Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen, De Gruyter (2010)

4.)

S. Bartels, Numerical Approximation of Partial Differential Equations, Springer (2016)

Inhalt:
In der praktischen Übung zur Vorlesung sollen die in der Vorlesung entwickelten und analysierten Algorithmen praktisch umgesetzt und getestet werden. Dies wird in der Programmiersprache C sowie mit Hilfe der kommerziellen Software Matlab zur Lösung und Visualisierung mathematischer Probleme geschehen. Elementare Programmierkenntnisse werden vorausgesetzt.

Literatur:

1.)

S. Bartels: Numerical Approximation of Partial Differential Equations, Springer, 2016.

2.)

W. Hackbusch: Iterative Solution of Large Sparse Systems of Equations, Springer, 2016.

Inhalt:
Eine Darstellung ist einfach ein Gruppenhomormorphismus von einer Gruppe G in eine Matrixgruppe Gl_n(k) für einen Körper k. Die Elemente werden als Matrizen dargestellt. Wir können nun unser Wissen aus linearer Algebra verwenden, um Aussagen über Gruppen zu beweisen. Dies ist besonders für endliche Gruppen ein sehr mächtiges Werkzeug.

Andererseits treten Darstellungen immer dann auf, wenn Vektorräume Symmetrien aufweisen, z.B. als Lösungsraum einer linearen Differentialgleichung, die gewissen Symmetrien genügt. Oft ist es nicht leicht, die Lösungsmenge zu bestimmen, aber Darstellungstheorie ermöglicht ein qualitatives Verständnis. Am bekanntesten ist der Fall der Orbitalmodelle der Elektronen eines Atoms.

Wir wollen die Grundlagen der Theorie zuerst in dieser konkreten Sprache kennenlernen und danach in die abstraktere Sprache der Moduln über dem Gruppenring übersetzen. Ein wenig Zeit für Anwendungen sollte auch sein.

Literatur:

1.)

J.-P. Serre, Linear Representations of Finite Groups, GTM 42, Springer Verlag, 1977

2.)

T.Y. Lam, A first course in noncommutative rings, GTM 131, Second Edition, Springer Verlag, 2001

Inhalt:
Dieses Proseminar verknüpft Analysis und Zahlentheorie. Die Analysis beruht ganz wesentlich auf dem Begriff der ε-Umgebung – Zahlen sind „nah“, wenn ihre Differenz einen kleinen Betrag hat. Man kann allerdings auch ganze Zahlen „nah“ nennen, wenn ihre Differenz durch eine hohe Potenz einer Primzahl p teilbar ist. Ähnlich wie die reellen Zahlen aus den rationalen entstehen, indem man fordert, dass alle Cauchyfolgen konvergieren sollen, kann man die rationalen Zahlen auch erweitern, indem man dasselbe für diesen völlig anderen Begriff von ε-Umgebung fordert. Und genau dies sind die berühmten p-adischen Zahlen. Es gibt Folgen, die nicht in den reellen Zahlen konvergieren, aber in den p-adischen – und sogar Folgen, die sowohl p-adisch wie auch reell konvergieren, aber mit unterschiedlichen Grenzwerten.

Ein Großteil der klassischen Analysis lässt sich auch für die p-adischen Zahlen entwickeln, und sehr vieles ist ganz ähnlich zur üblichen Analysis, und gleichzeitig doch auch ganz anders. Man muss sich selbst damit beschäftigen, um diese spannenden Phänomene wirklich verstehen zu können. Und genau dies wollen wir in diesem Proseminar tun.

Literatur:

1.)

Gouvêa, F.Q.: p-adic Numbers (Second edition), Springer Universitext, 1997

2.)

Jänich, K.: Topologie (8. Aufl.), Springer, 2005

3.)

Katok, S.: p-adic Analysis Compared with Real, AMS, 2007

4.)

Neukirch, J.: Algebraische Zahlentheorie, Springer, 1992

5.)

tom Dieck, T.: Topologie (2. Aufl.), de Gruyter, 2011

6.)

Werner, A.: Nicht-archimedische Zahlen, Vorlesungsskript WS 2012/13, abrufbar unter
http://www.uni-frankfurt.de/50581207/nicht_archi.pdf

Inhalt:

Das Ziel der Variationsrechnung ist es, optimale Lösungen eines Problems zu finden und ihre Eigenschaften zu beschreiben. Beispiele sind hier die kürzeste Verbindung zweier Punkte, die größte von einem Rand fester Länge eingeschlossene Fläche oder die Form einer hängenden Kette.

Aus der Analysis ist die Frage nach dem Auffinden von Minima reeller Funktionen bekannt. Diese wird in der Variationsrechnung auf das Finden von Minima von Funktionalen verallgemeinert. Funktionale ordnen einer Funktion u = u(x),x ∈ (a,b), eine reelle Zahl

Eines ersten Eindruck über die Variationsrechnung kann man in der Einleitung von 1.) gewinnen.

Literatur:

1.)

Hansjörg Kielhöfer, Variationsrechnung, Vieweg + Teubner, 2010 (als elektronischer Volltext in der UB verfügbar)

Inhalt:
Im Seminar sollen verschiedene Aspekte der Finite-Elemente-Methode zur Approximation elliptischer partieller Differentialgleichungen genauer betrachtet werden. Beispiele dafür sind ein konstruktiver Beweis des Bramble-Hilbert Lemmas, die Rolle von Winkelbedingungen in Interpolationsabschätzungen, die Verwendung von Methoden höherer Ordnung und isoparametrischer Ansätze.

Die Seminarthemen sind auch für Lehramtsstudierende, die an der Vorlesung Einführung in Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen teilgenommen haben, geeignet.

Literatur:

1.)

D. Braess: Finite Elemente, Springer, 2013.

2.)

S.C. Brenner, L.R. Scott: The Mathematical Theory of Finite Element Methods, Springer, 2007.

3.)

A. Ern, J.-L. Guermond: Theory and Practice of Finite Elements, Springer, 2004.

4.)

P.G. Ciarlet: The Finite Element Method for Elliptic Problems, SIAM, 2002.

Inhalt:
Das Seminar umfasst mehrere kleinere Blöcke aus je zwei oder drei Vorträgen mit Ergänzungen zur Vorlesung „Funktionentheorie“. Zum einen behandeln wir weitere spezielle Funktionen mit besonderen Eigenschaften. Zum anderen betrachten wir „Riemannsche Flächen“, das sind Flächen, die lokal wie Teilmengen der komplexen Zahlen aussehen, und auf denen sich manche holomorphen Funktionen besonders gut beschreiben lassen. Zu elliptischen Funktionen und zu Polylogarithmen gehören auch spezielle Riemannsche Flächen. Auch Anwendungen in anderen Teilen der Mathematik sollen nicht zu kurz kommen.

Geplant sind unter anderem folgende Themen.

• Riemannsche Flächen
• Elliptische Integrale, elliptische Funktionen und die zugehörigen „elliptischen Kurven“
• Polylogarithmen und ihre Funktionalgleichungen

Literatur wird in der Vorbesprechung angegeben._____________________________________________________

Inhalt:
In diesem Seminar sollen neueste Arbeiten zur Nicht-Eindeutigkeit von Entropielösungen für nichtlineare Erhaltungsgleichungen in mehreren Raumdimensionen besprochen werden.

Literatur:

1.)

E. Chiodaroli: A counterexample to well-posedeness of entropy solutions to the compressible Euler system, J. Hyperbol. Differ. Eq. 11, 493–519 (2014).

2.)

E. Chiodaroli, L. Gosse: A Numerical Glimpse at Some Non-Standard Solutions to Compressible Euler Equations, In: Gosse L., Natalini R. (eds) Innovative Algorithms and Analysis. Springer INdAM Series, Vol. 16, Springer, Cham 2017.

3.)

V. Elling: A possible counterexample to wellposedeness of entropy solutions and to Godunov scheme convergence, Math. Comp. 75, 1721–1733 (2006).

4.)

S. Marktfelder, C. Klingenberg: The Riemann problem for the multidimensional isentropic system of gas dynamics is ill-posed if it contains a shock, Arch. Ration. Mech. Anal. 227, No. 3, 967–994 (2018).

Inhalt:
 
Integrability is a feature of certain physical models which simplifies calculations, as it allows one to compute quantities not just approximately and numerically, but exactly and analytically. It can be understood as the absence of chaotic motion, or more precisely, as a hidden enhancement of symmetries which substantially constrain the motion. The first examples of systems that could be solved exactly appeared in classical mechanics: planetary motion, spinning tops, or harmonic oscillators. A common property of these systems is that they can be solved by computing the integral of a known function (hence the name “integrable systems”). In the 19th century, Liouville provided a theoretical framework to characterise such systems, but the real revolution in the field took place in the 20th century, when truly general mathematical structures emerged. More recently, the extension of these results to quantum mechanics, classical and quantum field theories, statistical mechanics, and string theory led to many important results and is still a very active field of research.

In this seminar we investigate the mathematical structures that underlie integrable systems. We focus on the interplay between the group theoretical aspects embodied by the Lax pairs of operators and the geometric ones represented by certain Riemann surfaces called spectral curves. Using examples from classical mechanics, we see how the problem of solving equations of motion transforms into a problem in group theory, how dynamical variables can be expressed in terms of theta functions associated to the spectral curve, and develop a dictionary between the two approaches. On the way, we shall learn some useful tools from symplectic geometry, Riemann surfaces, and Lie and Poisson algebras (no previous knowledge required!).

Literatur:

1.)

O. Babelon, D. Bernard, M. Talon: Introduction to Classical Integrable Systems, Cambridge University Press, 2003

Inhalt:

Das Hauptthema des Seminars ist die elliptische Differentialgleichung

Im Unterschied zur Poissongleichung -Δu = f hängt die rechte Seite von der Lösung u ab, und zwar exponentiell. Hieraus ergeben sich interessante Fragen zur Existenz, Eindeutigkeit und Regularität von Lösungen. Die Gleichung wurde zuerst von Liouville im Zusammenhang mit winkeltreuen Parametrisierungen von Flächen gefunden. Sie spielt eine wesentliche Rolle bei der Klassifikation geschlossener Flächen nach Poincaré.

Das Seminar wendet sich an Studierende ab dem 5. Semester. Aus den Vorträgen kann eine Bachelorarbeit entstehen. Vorkenntnisse zur Lösung der Poissongleichung, etwa mit L²-Theorie, werden vorausgesetzt. Die Literatur zum Seminar wird in der Vorbesprechung vorgestellt.

Es werden noch Teilnehmer gesucht.______________________________________________________

Inhalt:
 
Deterministische und stochastische Integrationstheorie sind Kernbestandteil moderner Analysis und bilden die Grundlage für die Lösungstheorie von Differentialgleichungen, mit zahlreichen Anwendungen in der mathematischen Modellierung. Das Seminar bietet einen Überblick über verschiedene Konstruktionen von Integralen (Lebesgue, Bochner, Dunford, Pettis, Dobrakov, Emery, Bichteler, radonifizierend, zylindrisch, …) in der vereinheitlichenden Sprache von Vektormaßen. Die Theorie liefert Integral-Ungleichungen, aus denen a-priori-Abschätzungen für Differentialgleichungen gewonnen werden, sowie Integraldarstellungen von bestimmten linearen Funktionalen. Anwendungen in der Finanzmathematik und darüber hinaus werden je nach Interesse der Teilnehmer ausgewählt._____________________________________________________________________

Inhalt:
Das Seminar stellt ein Angebot an M.Ed.-Studierende im Praxissemester für das Modul „Mathematische Ergänzung“ dar, es können aber auch Proseminar-Vorträge und vereinzelte Vorträge Richtung Mathematische Logik für das Bachelor-Seminar im B.Sc. vergeben werden. Abschlussarbeiten in einem der Bachelor-Studiengänge oder im M.Ed. können sich anschließen.

Das Seminar findet als Blockseminar voraussichtlich in der ersten Woche der vorlesungsfreien Zeit statt. Eventuell beginnen wir mit ersten Vorträgen auch schon im Januar oder Februar; dies werden wir bei der Vorbesprechung festlegen.

Thema des Seminars ist der Blick auf Zahlbereiche, konkret könnte dies sein:

• Zugänge zu den natürlichen Zahlen: Peano-Arithmetik, Konstruktion aus der Mengenlehre, Nicht-Standard-Erweiterungen, …
• Konstruktionen der reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen
• Verschiedene Zahlbereichserweiterungen über die komplexen Zahlen hinaus

Zum Oberthema passende Themenvorschläge der Teilnehmer sind willkommen.

Bitte melden Sie Ihr Interesse an dem Seminar mit Studiengang und Verwendungswunsch (Seminar, Proseminar, Bachelor-Seminar) wie oben angegeben an.

Literatur:

1.)

Ebbinghaus et al.: Zahlen, Springer, 1992

2.)

Weitere Literatur je nach konkreten Themen

Inhalt:
Zur Beantwortung komplexer biomedizinischer Fragestellungen aus großen Datenmengen ist oft ein breites Spektrum an Analysewerkzeugen notwendig, z.B. Deep Learning- oder allgemeiner Machine Learning-Techniken, was häufig unter dem Begriff „Medical Data Science“ zusammengefasst wird. Statistische Ansätze spielen eine wesentliche Rolle als Basis dafür. Eine Auswahl von Ansätzen soll in den Seminarvorträgen vorgestellt werden, die sich an kürzlich erschienenen Originalarbeiten orientieren. Die genaue thematische Ausrichtung wird noch festgelegt. Zu Beginn des Seminars werden ein oder zwei Übersichtsvorträge stehen, die als vertiefende Einführung in die Thematik dienen.

Vorherige Anmeldung per E-Mail (sec@imbi.uni-freiburg.de) ist erwünscht._____________

Inhalt:
Es gibt im Internet eine Reihe interessanter Videos zu mathematischen Themen. Beispielsweise den YouTube-Kanal Numberphile rund um Brady Haran, aber noch eine Reihe weitere. Dort wird ganz verschiedenartige Mathematik präsentiert: Etliches kann man vielleicht als „Unterhaltungsmathematik“ bezeichnen, aber viele Videos greifen auch sehr nichttriviale Mathematik auf und bemühen sich, sie einem größerem Publikum verständlich zu erklären – also insbesondere einem Publikum, was nicht gerade das Wissen aus mehreren Semestern Mathematikstudium zur Hand hat.

Aber das ist bei uns ja anders. Wir kennen ein bisschen mehr Mathematik und wir können uns die Themen, die hinter so manchen Videos stecken, auch etwas genauer anschauen.

Der Plan des Seminars ist daher, zu einzelnen Videos ein wenig die “Hintergrundstory” zu erkunden.

Als Beispiel: Die Fibonacci-Folge ist in der Unterhaltungsmathematik sehr bekannt. Aus Sicht der Zahlentheorie ist sie ein Spezialfall einer linear rekurrenten Folge. Einige spezielle Eigenschaften der Fibonacci-Folge folgen direkt aus allgemeiner Theorie, z.B. weil die dominante charakteristische Wurzel der Folge eine sogenannte Pisotzahl ist. Fragen zu linear rekurrenten Folgen sind auch heute noch ein aktives Forschungsgebiet, so wurde z.B. die „Pisot Wurzelvermutung“ erst im Jahr 2000 bewiesen (Zannier, Ann. of Math.).____________________________________________________________________________________________________________

Inhalt:
In einem Lesekurs „Wissenschaftliches Arbeiten“ wird der Stoff einer vierstündigen Vorlesung im betreuten Selbststudium erarbeitet. In seltenen Fällen kann dies im Rahmen einer Veranstaltung stattfinden; üblicherweise werden die Lesekurse aber nicht im Vorlesungsverzeichnis angekündigt. Bei Interesse nehmen Sie vor Vorlesungsbeginn Kontakt mit einer Professorin/einem Professor bzw. einer Privatdozentin/einem Privatdozenten auf; in der Regel wird es sich um die Betreuerin/den Betreuer der Master-Arbeit handeln, da der Lesekurs als Vorbereitung auf die Master-Arbeit dienen kann (im M.Sc. wie im M.Ed.).

Der Inhalt des Lesekurses, die näheren Umstände sowie die zu erbringenden Studienleistungen (typischerweise regelmäßige Treffen mit Bericht über den Fortschritt des Selbststudiums, eventuell Vorträge in einer Arbeitsgruppe, einem Oberseminar, Projektseminar …) werden zu Beginn der Vorlesungszeit von der Betreuerin/dem Betreuer festgelegt. Die Arbeitsbelastung sollte der einer vierstündigen Vorlesung mit Übungen entsprechen.

Die Betreuerin/der Betreuer entscheidet am Ende der Vorlesungszeit, ob die Studienleistung bestanden ist oder nicht. Im M.Ed. und im Modul „Mathematik“ des M.Sc. gibt es eine mündliche Abschlussprüfung über den Stoff des Lesekurses, im Vertiefungsmodul des M.Sc. eine mündliche Abschlussprüfung über sämtliche Teile des Moduls. Ein Lesekurs zur Vorbereitung auf die Master-Arbeit kann im M.Sc. auch im Wahlmodul angerechnet werden (ohne Prüfung, nur Studieneistung). ________________________________________________________________________

Inhalt:
We are studying a subject within the scope our Graduiertenkolleg “Cohomological Methods in Geometry”: algebraic geometry, arithmetic geometry, representation theory, differential topology or mathematical physics or a mix thereof.

The precise topic will be chosen at the end of the preceeding semester. The program will be made available via our web site.

The level is aimed at our doctoral students. Master students are very welcome to participate as well. ECTS points can be gained as in any other seminar. For enquiries, see Prof. Dr. A. Huber-Klawitter or any other member of the Graduiertenkolleg._________________________________

Inhalt:
Das Mathematische Kolloquium ist eine gemeinsame wissenschaftliche Veranstaltung des gesamten Mathematischen Instituts. Sie steht allen Interessierten offen und richtet sich neben den Mitgliedern und Mitarbeitern des Instituts auch an die Studierenden.

Das Kolloquium wird im Wochenprogramm angekündigt und findet in der Regel am Donnerstag um 17:00 Uhr im Hörsaal II in der Albertstraße 23 b statt.

Vorher gibt es um 16:30 Uhr im Sozialraum 331 in der Ernst-Zermelo-Straße 1 den wöchentlichen Institutstee, zu dem der vortragende Gast und alle Besucher eingeladen sind.

Weitere Informationen unter http://home.mathematik.uni-freiburg.de/kolloquium/