11.3 Fourierreihen

Inhalt:
Das Proseminar beschäftigt sich mit der Theorie und Anwendungen von Fourierreihen. Die Fourier-Reihe ist definiert für periodische Funktionen und ist die Entwicklung dieser Funktionen nach dem Funktionensystem cos(kx), sin(kx), für k ℕ. Im Unterschied zu den Taylor-Reihen können durch Fourier-Reihen auch periodische Funktionen dargestellt werden, die nur stückweise stetig differenzierbar sind und deren Ableitungen Sprungstellen haben.

Nach der Definition für klassische Funktionen wird uns die Untersuchung der Konvergenzeigenschaften zu einer natürlicheren Klasse von Funktionen führen, den quadrat-integrablen. Definierbar sind Fourierreihen auch für integrable Funktionen, jedoch sind die Konvergenzfragen wesentlich schwieriger zu beantworten.

Anwendung findet die Theorie in partiellen Differentialgleichungen und der Informationstheorie. Wir werden als Beispiel die Wellengleichung betrachten und das Shannon Sampling Theorem beweisen. Dieser Satz beantwortet die Frage: Kann ich aus dem Messsignal das Originalsignal wiederherstellen? Schließlich wird die Fast Fourier Transform behandelt, die eine schnelle numerische Berechung der Fourierreihe ermöglicht.

Zu den vorgestellten Themen gibt es unzählige Bücher. Von den Teilnehmern wird eine selbständige Literaturrecherche erwartet.________