1.10 Funktionalanalysis

Inhalt:

Die Funktionalanalysis ist entstanden durch die Notwendigkeit beziehungsweise den Wunsch, Aussagen der linearen Algebra, die für endlichdimensionale Räume bewiesen wurden, auf unendlichdimensionale Räume zu übertragen. Dies war motiviert durch physikalische Modelle, die auf Gleichungssysteme aus unendlich vielen Gleichungen für unendlich viele Unbekannte führten. Denken wir an solche Gleichungssysteme, so entsteht sofort die Notwendigkeit über Konvergenzbegriffe zu sprechen.

In der Funktionalanalysis werden die Strukturen der Algebra mit den Strukturen der Topologie und der Analysis verbunden. Dadurch wird dieses Gebiet der Mathematik besonders attraktiv. Gleichzeitig liefert die Funktionalanalysis viele Methoden zur Lösung von wichtigen Gleichungen aus Anwendungen.

In dieser Vorlesung werden wir vor allem die Lösbarkeit linearer Gleichungen in unendlichdimensionalen Räumen und die Struktur der Lösungsmengen untersuchen.

Die Vorlesung wird im wesentlichen so gegliedert sein: metrische Räume, normierte Räume, Hilberträume, Kompaktheit, lineare Operatoren, Homomorphiesatz, Graphensatz, (stetige!) lineare Funktionale, Satz von Hahn-Banach, duale Operatoren und Dualräume, kompakte Operatoren, Riesz-Schauder-Fredholm-Theorie, Spektraltheorie kompakter Operatoren.

Literatur:

1. H. W. Alt: Lineare Funktionalanalysis. Springer 2006
2. W. Rudin: Functional Analysis. McGraw-Hill 1991
3. K. Yosida: Functional Analysis. Springer 1994