1.18 Algebraische K-Theorie

Inhalt:

Algebraische K-Theorie kann aufgefasst werden als der Versuch, über Ringen lineare Algebra zu betreiben. Die erste Frage ist, was die Rolle der Vektorräume übernehmen soll. Es zeigt sich, dass der Begriff des projektiven Moduls die richtige Verallgemeinerung ist. In Analogie zur Linearen Algebra I wollen wir diesen Moduln Dimensionen zuordnen, und Abbildungen Determinanten. Es zeigt sich jedoch, dass Dimensionen keine ganzen Zahlen mehr sind, und Determinanten keine Körperelemente, an Stelle dieser Mengen treten die Gruppen K₀ und K₁, die sich später in eine ganze Folge von Gruppen einfügen. Anwendungen findet K-Theorie in der Zahlentheorie, der Algebra, der Differentialgeometrie, und, über die Theorie der Operatoragebren, in der Funktionalanalysis.

Literatur:

1. J. Rosenberg, Algebraic K-Theory and Its Applications
2. J. Milnor, Introduction to Algebraic K-Theory
3. A. Hatcher, Vector Bundles and K-theory,
   http://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VBpage.html
4. B. Blackadar, K-Theory for Operator Algebras