1.19 Wissenschaftliches Rechnen und Anwendungen in der Strömungsmechanik

Inhalt:

In dieser Vorlesung wird die Diskretisierung und effiziente Implementierung von sogenannten Discontinuous Galerkin Verfahren zur Approximation von elliptischen, parabolischen und hyperbolischen Partiellen Differentialgleichungen im Vordergrund stehen. Das Discontinuous Galerkin Verfahren zeichnet sich durch eine hohe Flexibilität aus bei der Behandlung sehr unterschiedlicher Probleme; so können sowohl glatte Lösungen mit hoher Genauigkeit approximiert werden, wie auch unstetige Lösungen effektiv berechnet werden.

Im Gegensatz zum standard Finite-Elemente Verfahren wird beim Discontinuous Galerkin Verfahren keine Stetigkeit der Approximation über Elementgrenzen hinweg gefordert. Dadurch erhält die Approximation einen lokalen Charakter, der sich positiv auswirkt bei Maßnahmen zur Steigerung der Effizienz des Verfahrens, wie etwa bei Parallelisierung und Adaptivität.

Desweiteren lässt sich ein großer Teil der Algorithmen generisch implementieren, d.h. unabhängig vom Typ der partiellen Differentialgleichung und von den konkreten Daten. Um allerdings ein vielseitiges, effizientes und leicht wiederverwertbares Programm zu schreiben, sind einige Gesichtspunkte beim Design zu berücksichtigen. Dazu werden in der Vorlesung und anhand praktischer Übungen fortgeschrittene Methoden der C++ Programmiersprache besprochen.

Literatur:

1. Cockburn B., Johnson C., Shu C.-W., and Tadmor E.: Advanced numerical approximation of nonlinear hyperbolic equations. Lecture Notes in Mathematics, volume 1697, Papers from the C.I.M.E. Summer School held in Cetraro, June 23–28, 1997, Edited by Alfio Quarteroni, Fondazione C.I.M.E.., Springer, Berlin, 1998.
2. Arnold D. N., Brezzi F., Cockburn B., Marini L. D.: Unified analysis of discontinuous Galerkin methods for elliptic problems. SIAM J. Numer. Anal. 39 (2001/02), no. 5, 1749–1779.
3. Todd Veldhuizen: Techniques for Scientific C++. Indiana University Computer Science Technical Report No. 542. Version 0.4, August 2000 (http://osl.iu.edu/ tveldhui/papers/techniques/).